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Fortsetzung Vektorrechung, Geraden und Ebenen

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass er verlängert werden an der TU Darmstadt so der herzlich
willkommen seit dem Vorlesung bevor ich mit dem inhaltlichen loslege noch eine organisatorische Anmerkungen und haben immer wieder Fragen Wunsch ihrer Seite auch von der Seite der Tod vor erreicht ob es nicht mehr sinnvoll ist wenn wir in den Übungsgruppen auch einen abgeben in Paaren zu lassen ja das ist halt aber debattiert und sind dem kommenden jetzt nach also es gibt jetzt folgende Regelung dass sie ab dem das zweite Übungsblatt läuft der gerade das geben Sie ab morgen ab das läuft sozusagen im bisherigen Fahrwasser aber dass sie ab dem dritten Übungsblatt also bis zu zweit abgeben können er auch zu zweit abgeben können in 2 nahm auf ein Blatt schreiben das Ganze läuft dann unter dem Aspekt dass die Paare dann aber bitte bestehen bleiben soll also nicht jedes Jahr die nicht jede Woche irgendwie sich neu zusammenwürfeln sondern wenn Sie Lust haben suchen Sie sich jemanden mit dem sie zusammen abgeben wollen und wenn sie es dann zusammenarbeiten ist gut wir brauchen Sie sich jetzt einmal aufschreiben und wir geben dann eben beiden jeweils die volle Punkte der Vorteil davon ist dass die Tutoren bisschen weniger anzugucken haben und dann etwas auch genau korrigieren können auch klar ist kein Geheimnis das macht für alle die die sich den Bonus abschreiben die Sache noch leichter wo nicht mehr abheben sondern es reicht irgendwann das den Namen aufzuschreiben da sage ich das was ich immer sage wer das macht ist selbst Schuld und wer sich selbst ins Knie schießen Markt auf das Tor die Übungen sind nicht dafür da um sie zu ärgern und irgendwie den Bonus möglichst schwer zu machen sondern sind Angebot an Sie dass sie den Stoff wiederholen festigen sonst wie können wenn sie das nicht annehmen wollen jetzt niemand aufhalten aber die gute Idee ist es nicht so es ist eine Frage die aus praktischen Gründen sollten die Leute derselben Übungsgruppe seiner weil er das kriegen sonst überhaupt nicht gut gut dann steige ich ins wenn es keine weiteren Fragen gibt wieder den Inhalt ein da waren wir in der Vektorrechnung und der uns mit Skalarprodukt beschäftigt Fluss der letzten Vorlesung Ich habe nochmal es ist er die Definition darauf die vorlie gepinnt also für 2 Vektoren X und Y X ist x 1 bis x NY des y 1 bis Y das Erinnerung das kleine T da hat nichts anderes zu bedeuten als das ist eigentlich der Spalte und keine Zeile und wenn sie bleiben es gerne haben wollte Produkt multiplizieren kriegen Sie diese Summe raus und das Skalarprodukt ist es wichtig die Zahl ich habe dann am Schluss von der letzten Vorlesung noch den Satz 3 15 im geschrieben und ihn auch gezeigt warum der gilt werde gesagt den kann man auf 2 des aus 2 Richtungen interessante zum einen wenn sie 2 Vektoren haben sehen Sie wie das Skalarprodukt zusammenhängt mit den Normen und dem Winkel zwischen den beiden Faktoren das geht einem Einsichten in die die wirkliche Bedeutung das Skalarprodukt zusammen letztes Mal diskutiert zu können so umgekehrt betrachten was weiß dem mög ihr eine Möglichkeit überhaupt den Winkel zu definieren sie können einfach sagen der Winkel zwischen 2 Vektoren ist gegeben durch den Winkel so sodass Cosinus Alfa das selbe ist wie das Skalarprodukt geteilt durch die Norm für das ist die zweite Möglichkeit diesen Satz anzuschauen und womit ich jetzt einsteigen will ist noch mal er war Folgerungen aus diesen Satz zu ziehen und Spezial und in Fürth schauen was uns dieser Satz noch sagt da habe ich ihn letztens mal schauen gezeigt dieser Satz bedeutet das wenn sieht sich 2 Einheitsvektoren also X und Y am Baum 1 dann ist das Skalarprodukt von X und Y entspricht dann der Länge der Projektion von bedeckte X auf den Vektor y das war der eine Spezialfall uns ein geschaut haben und der ich wie jetzt den nächsten machen das Ganze läuft unter der Überschrift Folgerungen 3 16 also Folgerungen aus diesem Satz 3 15 so unter B teil bis jetzt folgende Überlegung der 3 15 sagt uns wann immer wir uns 2 Vektoren hin in dem X und Y in der allen dann wissen wir was wir mit dem Skalarprodukt S also das Skalarprodukt von X und Y nach dem Satz da drüben ist gleich die Norm von X weil die Norm von y mal der Kosinus von Al-Faran als heißt in wieder drüben wird der Winkel zwischen XY oder der Winkel zwischen y x je nachdem welcher kleiner ist und ich hätte sie mich jetzt Moment gar nicht für das Skalarprodukt als solches und interessiert nur der Betrag also wenn ich mir den Betrag von Skalarprodukt anguckt dann krieg ich natürlich um Betrag auf der rechten Seite nun ist die Norm von etwas was Positives und die Namen von y was positives das heißt es werden der Betrag vom Cosinus übrig sollst das wieder ne richtige Gleichheit und jetzt kann man sich folgende Überlegung machen der Kosinus von dem Winkel was die gar dass der Winkel ist der wird nie besonders groß war der es immer zwischen minus 1 und 1 das heißt dass das immer kleiner gleich 1 das heißt was sie kriegen ist Schreiner vielleicht die mehr was sie kriegen ist die folgende den folgenden Zusammenhang der Betrag vom Skalarprodukt von 2 Vektoren egal welche Vektoren das sind da ist im Mai nach oben kontrolliert er sie wird nie größer als die Summe der beiden Norm das ist mir relativ wichtige Ungleichung dementsprechend hat sie den Namen und das ist die sogenannte chorische schwarz und ungleichen nach 2 Mathematikern 2 Franzosen ob ich da Kushiro Laurant schwarz ja das wirklich Franzose auch wenn das schwarz sehr das ist die 1.
Folgerung die man jetzt sehen kann das ist also nicht ja eine Kontrolle dessen dass es Skalarprodukt kann nicht also will der obere Abschätzung wie große Skalarprodukt allerhöchstens werden kann durch die Norm und die zweite Beobachtung die ich jetzt hier noch loswerden will die man an diesen Satz 3 15 machen kann ist der Fall was ist denn wenn ich 2 Vektoren also das es meine interessante Beobachtung wenn man aufpassen muss also ich ich nehme jetzt 1 zu 1 X und Y hier die beiden nicht nur sind ja dann wäre es eine und dann und Frage gestellt die Frage wann denn dann das das Skalarprodukt von den beiden 0 ist es geht mir auf die Idee kommen soll das sein wenn die beiden nicht nur sind dass das Produkt doch auch nicht 0 er das ist den reellen Zahlen gedacht man dabei reellen Zahlen geht das wenn ich 2 nicht 0 sein wo die Bezieher kommt er nicht nur raus wir es gab das ist falsch ja also das kann durchaus passieren aber die Frage ist wann ist denn das wann ist das Skalarprodukt 0 unten Skalarprodukt ist ist dann 0 setzen unsere Formen von hier drüben ein ist dann wohl in die Norm von mal den Namen von y meine Kosinus von einer Farbe bei Alfa wieder der Winkel zwischen X und Y ist oder sich mir bislang legst wenn das so ist so
waren kann das 0 sein das ist jetzt ein Produkt von reellen Zahlen über das Produkt von reellen Zahlen 0 na wenn einer der Faktoren 0 ist aber der Star ist ganz sicher nicht 0 war ja noch X nicht nur Wissen und deren gesehen es gibt nur eine einzige weckte der Norm 0 hat das denn nun Vektor genauso ist auch das da ganz sicher nicht 0 also kann das Skalarprodukt nur 0 sein wenn der Kosinus von Alfa 0 ist und eines der Q 1 ist der Cosinus vor dem Winkel Nullen das ist genau dann der Fall wenn der Winkel entweder plus oder minus die halbe ist oder natürlich auch plus 2 P plus 4 gibt es 6 Crepes es 8 Ja oder die von 2 Team mehr oder weniger ja aber das sind sie die beiden Fälle die die beiden Nullstellen von Cosimos im Intervall zwischen minus POP und das entspricht plus oder minus 90 Grad wärmer also was rauskommt ist das Skalarprodukt von 2 Rektor die nicht 0 sind das ist genau dann wohl wenn die beiden Vektoren im Winkel von 90 Grad auf und das ist das was wir im allgemeinen Sprachgebrauch im rechten Winkel nennen und wir ist interessantes Eigenschaft von Skalarprodukt das
ist uns nehmen Methode liefert auf rechte Winkel testen zu können und das wir noch einen neuen Begriff fassen also kann man diesen Teil C sehen das Skalarprodukt 0 diesen Test auf dem rechten Weg in das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist gut denn es entweder eine der Rektor 0 kann natürlich sein aber die beiden nicht 0 sind dann haben im rechten Winkel so und das wird jetzt noch in den Begriff gefasst 2 Vektoren X und Y aus der engen die heißen senkrecht zueinander oder orthogonal wenn man es auf schönen fremd hatte sagen will also senkrecht zueinander oder orthogonal ab falls eben das Skalarprodukt von den beiden 0 ist und dafür getan ein Symbol man schreibt dann oft nix ist orthogonal an mit und auf dem Kopf stehenden T und das zeigen orthogonal andeuten man beachte ich wollen um in dem Teil C in dem Fall dass nur Vektors ausgeschlossen dessen Definition der komplett zugelassene Definition ist so formuliert das der 0 weg da einfach für je auf jedem weg senkrecht steht ja also man beachte
Bemerkung 3 18 die Definition ist so gemacht dass der 0 Vektor zugelassen ist weil es immer so mühsam ist immer den dauern ausschließen muss
aber der 0 Rektor ist jetzt eben was erst mal auf den 1. Augenblick bisschen komisch ist es jetzt eben senkrecht auf Excel für jedes x aus allen wenn einige macht für 0 weg da natürlich der Begriff senkrecht keinen Sinn weil da kenne ich doch kann man es entweder immer aus diesen oder einfach akzeptieren dass der einfach zu einem senkrecht stehen Sohnes geschickt der weil es das wiederum Kriterium geht auf den nur Vektor wenn sie von dem Wetter zeigen können dass die darf fallen senkrechten muss immer weg dass ein mehr an anderen weckt aber diesen komischen Verhalten gibt es nicht gut das ist der Autor Banalität Begriff der fällt auch noch aus diesem Satz heraus aus diesen Satz 3 15 auf den werden wir auch noch mehrfach zurückkommen das ist in der ganz wichtige klangprächtige sind wichtig und die können wir damit mathematische abgreifen sie können jetzt Hanne Kriterium dafür dass der Vektoren senkrecht stehen so konnten kleine Themensprung also wir bleiben Rektoren und so weiter aber es kommt noch
mal wieder was neues was mit Vektoren machen können bisher können sie addieren wir können sich strecken und stauchen und wir können sie miteinander multiplizieren wir das tun kommt Zahl raus und was ihn jetzt noch zeigen will ist eine andere Form das Multiplizieren von Vektoren die ganz anders ist war jetzt kommen Vektor aus aber die funktioniert dafür nur in 3 Dimensionen und ist das Kreuzprodukt nun also Definitionen 3 19 also wenn dem wieder 2 Vektoren her das Netz Vektoren dem R 3 also x 1 x 2 x 3 und y ist der Vektor y 1 y 2 y 3 das seien beides Vektoren im R 3 also in diesen Teil jetzt sind wir denen er 3 endlich 1. sehr spezielle Wahl 2. eine sehr wichtige Wahl weil einer der 3 ist immer der Raum wird zum gibt sofern eigentlich fast für die Anwendung der wichtigste Vektorraum so und jetzt definiere ich ihn noch ein andres Produkt und weil das ein völlig anderes
ist Bromont und völlig anderes Zeichen und das Zeichen ist hier so ein Kreuz das liest man auch so also das heißt X Kreuz y so und die Definition sieht erst mal Bild aus und erklärt sich nur daraus Apps erklärt sich nur daraus dass das Ganze interessante Anwendungen hat also das gibt jetzt wieder weg da mehr 3 und der sieht folgendermaßen aus x 2 x y 3 minus X 3 X Y 2 in der zweiten Komponente x 3 x y 1 minus x 1 x y 3 und in der dritten Komponente x 1 x y 2 minus x 2 x y 1 nochmal definieren kann man alles mehr ist halt irgend Viktor und der heißt das Kreuzprodukt oder Rektor Produkt von X und Y so Kreuzprodukt ja der Name kommt von dem Symbol der oder Vectra Produkt von handelt an und die beiden Begriffe Kreuzprodukt oder Vektorprodukt die werden in der Literatur Kreuz und quer durcheinander für das Ding verwendet das Ding habe ich mich jetzt ja auch nicht entschieden ein von den beiden zu verwenden und den andern zu verschweigen weil sie werde mit beiden zu tun pflegen
und unter die rechtlich damit hatte habe ich festgestellt als ich den 1. Entwurf das nächste Übungsblatt gesehen habe bei der dann prompt waren entsprechend Menschen auch nicht aufgefallen in der Überschrift Kreuzprodukt in Text weckte Produkt ja es fällt eine schon gar nicht mehr aufwärts alter synonym muss man sich dran gewöhnen und wie gesagt das Ganze liest man ASX Kreuz y zur ja ab sie das war komisch aus machen wir müssen da 2
Dinge tun 1. Mal Beispiel rechnen und
zweitens und Übel oder ich muss Ihnen erklären was das denn bedeutet und was ist tut welchen wir vielleicht einfach erst Beispiel Beispiel 3 20 wann immer 2 Vektoren R 1 minus 1 0 und dem 2. und wenn da nix einfällt nimmt man halt 1 2 3 Teile und dann reden wir mal aus was da passiert was wir tun müssen steht da muss es nur einsetzen X ist 1 minus 1 0 Y ist 1 2 3 also brauchen zuerst x 2 x y 3 das ist minus 1 x 3 minus X 3 1 0 x 2 x 3 x y 1 also 0 x 1 minus x 1 x y 3 einmal 3 und der letzten Zeile x 1 x y 2 das ist einmal 2 minus x 2 x y 1 also minus 1 x 1 so und der Rest ist jetzt addieren von der einen einstelligen Zahlen also minus 3 minus 2 bis minus 5 0 minus 3 bis minus 3 und 2 plus 1 ist auch 3 habe ich jetzt ja genau und ob ich Mist gebaut minus 3 ja nur mal 2 meinen sie es nicht 2 sondern 0 einverstanden also sie sind schon mit galt mit wirklich reellen Zahlen also in in Kontakt kommt immer gefährlich Buchstaben sind viel einfacher mit den kann man sie nicht so viel verrechnet gut er er zahm Weise Beispiel gesehen habe ich gebe zu Norm ist was das Ganze soll es nicht so
klar aber sie sehen es gibt ist das völlig anders als das Skalarprodukt wenn sie 2 Vektoren Skalarprodukt multiplizieren also wenn sie die beiden der multiplizieren Skalarprodukt was kriegen Sie dann einmal 1 plus minus 1 2 2 plus 0 mal 3 also 1 bis 2 minus 1 diese Zahl raus und wir kriegen sie jetzt weg aus das völlig anders aber was soll das jetzt also sagen wir mal Eigenschaften von diesem Kreis vertagt also Eigenschaften 3 21 das finden Sie unter 1 Cent 3 21 so was geht für dieses Kreuzprodukt ein
Rechenregeln und ein anschauen warum also wieder lauter Zeug also wenn sich 3 Vektoren hinnehmen X Y und Z aus dem er 3 als das ganze Kreuzprodukt es nur für 3 definiert wie gesagt und er wer jetzt Harlander
dann kriegen Sie die folgende Regeln 1. und das ist schon mal was relativ ungewöhnlich ist was man nicht so oft hat dieses Kreuzprodukt ist nicht Feldhaus unabhängig also X Kreuz y ist nicht das Gleiche wie y Kreuz X und das ist ja eigentlich bei den meisten Rechenoperationen so man denke ich mir viel drüber nach das ist nicht gleich aber es ist fast gleich sie kriegen nicht minus also wenn sie die beiden vertauschen dann kriegen Sie den gleichen Zahlen den gleichen Betrag aber das Vorzeichen dreht sich um und das nennt man Anti Symmetrie war die Sache eben genau nicht symmetrisch ist sollen nicht nur nicht symmetrisch sondern genaues Gegenteil von 7 trifft das sehen heißt es an die Symmetrie und insbesondere kann man hieraus sofort was folgern was passiert wenn Sie einen Vektor mit sich selbst Kreuzprodukt nähen also Was ist X Kreuz X behaupte ich dass können kann man jetzt sich überlegen weil mehr x Kreuz X ist natürlich das gleiche wie wenn sie das ganze vertauscht ja ich weitaus jetzt das vordere X mit wenn dass weder mit dem vorderen X und dann Krieg ich minus X Kreuz X raus nach der Rechenregel wenn Sie den 1. 2. mit vertauschen Sie minus kriegen also diese Zahl x Kreuz X muss die Eigenschaft haben dass sie gleich ihren negativen ist oder geht es nicht so wahnsinnig viele da geht's genauergesagt nur eine welche Zahl ist gleich ihren negativen die 0 also ist x Kreuz X immer 0 oder welche Vektors gleichsam negative muss ich sagen die gibt es nur ein und das ist ja nur Vektor also egal welchen Weg das sie mit sich selbst das Kreuzprodukt nehmen Sie kriegen wohl raus das kann man sofort aus der an diesem ist wie folgt und
jetzt ist natürlich die Frage wie verträgt sich dieses Kreuzprodukt mit unseren schon bekannten Rechenregeln also was ist wenn ich im Kreuzprodukt von 2 Vektoren und jetzt rede ich ein von dem um 2 was passiert mit dem Kreuzprodukt das ist der Inhalt von B und was passiert wenn ich 2 Vektoren Alttiere und machen Kreuzprodukt mit dem 3. darum kümmern wir uns jetzt also und die Antworten sind da passiert das was man erwarten würde also im Gegensatz zu wo was erst bei Unerwartetes passiert das ist ja alles so wie man es erwarten würde wenn sie denn wenn Sie X gerade Y nehmen und das Umland erstrecken ist das genau das Gleiche wenn sie das X und Wanderstrecken und das Kreuz y nehmen oder Sie können auch das wird sie dann am Lande erstrecken und X Kreuz Lande y nehmen das ist ganz egal also sondern da kann sie dadurch ziehen wie sie wollen das tut sich nix wenn jetzt kommt die Addition was ist wenn sie X mit mitzählt addieren und das Ergebniss dann mit Y ins Kreuzprodukt nehmen es heißt es den Produkt war das sollte er dem Sender haben und das sollte sich also auch in die Vene Multiplikation Verhalten das heißt wir hätten jetzt gern sowas wie Distributivgesetz und auch das tut mir also Sie kriegen das ist dasselbe W X Kreuzprodukt mit Y plus Z Kreuzprodukt mit Erbsen an wenn es nichts anderes essen Distributivgesetz halt für dieses komische Kreuz statt den mal period und das
gleiche geht auch wenn Sie im zweiten Argument im zweiten hinten der die
Summe haben also X Kreuz y plus Z ist das gleiche wie X Kreuz y plus X Kreuz Z Distributivgesetz andersrum und diese 3 Dinge zusammen die nennt man in der Welt hält das Kreuzprodukt warum sehen wir doch wenn wir uns mit dem Begriff der Genialität ausführlich beschäftigen ja so und jetzt noch 3. Was können wir noch mit Viktor machen könnte Skalarprodukt bilden also wie verträgt sich das Kreuzprodukt Produkten Skalarprodukt da habe ich keine allgemeine Formel für sie aber einen wichtigen Spezialfall der uns dann auch den 1. Hinweis darauf gibt was tut dieses Kreuzprodukt eigentlich nur mal folgendes macht meinen Text und Kreuzprodukt mit Erzähler aber Lektor den kann man jetzt in Skalarprodukt mit X multipliziert macht zumindest alles sehen und meine Behauptung ist egal was XY ist da kommt immer 0 raus ja diese XY sie anfangen dass es immer nur und das gleiche gilt auch wenn sie es mit Y machen also X Kreuz y Skalarprodukt mit y ist immer 0 er so das ist natürlich jetzt nicht die allgemeine Antwort was passiert wenn das Gel abrücken Kreuzprodukt mischen Arbeit interessante Spezial fahren warum gelten diese ganzen Rechenregeln im da kann ich nur sagen nachrechnen also was man tut ist man in die Formel von oben das Kreuzprodukt schreibt x 1 x 1 x 2 x 30 x y s y 1 und zwar bislang 3 setzt alles ein und stellt fest dass das gilt die ganzen Dinge also die zweite und dritte Zeile und der Besen wirklich mühsam und darf ich was ich empfehlen würde ist rechnen Sie mal 1 von denen 10 nach einfach zum das bis ins Gefühl kriegen aber es ist nichts als einsetzen der Definition und dann kriegen Sie diese zusammenhänge hieraus nicht wir jetzt noch
einen letzten Zusammenhang der zufügen
und dann können wir uns das noch mal anschauen
und dann behaupte ich sehe mir so ein bisschen dass das Kreuzprodukt also Teil die auch das Kreuzprodukt hängt mit dem Winkel zwischen den Vektoren zusammen also ist sie wieder der kleinere Winkel zwischen X und Y und das ist wieder genauso gemeint wie letztes Mal also das ist entweder der Winkel zwischen X und Y oder der Winkel zwischen y x je nachdem welcher kleiner ist und wenn dann ist das kann ich Ihnen sagen was das der DIN-Norm also der betreibt die Länge von Kreuzprodukt von X und Y ist den können Sie dann ausrechnen in dem sie die Norm von X nennen die Namen von y und das Ganze jetzt Multiplizieren mit den Betrag von Sinus von Vieh also beim Skalarprodukt was Kosovos hieß es für sinnlos und dann sehen Sie was der die Länge von diesem Denken Vektor x Kreuz y ist und jetzt muss man sich C und D nochmal anschauen und die beiden beantworten einem wenn man sich's des geometrische besetzt was der sehen das Kreuzprodukt ist und wofür es gut ist er die es gibt da in eine Information darüber in welche Richtung x Kreuz y zeigt des gibt Ihnen Information darüber wie lange Tricks Kreuz y ist ist es dass die Information über die Länge gibt es relativ offensichtlich dichte dar und sie gibt ihnen angeblich Information über die Richtung dass es ein bisschen gewagte da steht nur wie es gar Produkte sind 0 aber dann vollen gesagt Gala Produkt 0 bedeutet das sind 2 Dinge senkrecht was also diese Szene bedeutet das will ich mal in eine
Bemerkung Pagen Bemerkung 3 22 diese Szene bedeutet dieser Vektor x Kreuz y der steht senkrecht sowohl auf X als auch auf y wer also wenn Sie das da oben zusammennehmen dieser Vektor x Kreuz y der erfüllt 2 Dinge 1. Er steht senkrecht auf X und Y und jetzt behaupte ich im dreidimensionalen Raum hat der wird es nicht mehr viele Möglichkeiten wenn Sie zeigt wohl dickste bislang schon haben dann sparen die gehen komm nur noch genau hin aber so von anschauen können sich vorstellt eine Ebene auf 2 Vektoren wenn sie nicht die gleiche Richtung zeigen 2 Viktor den verschiedene Richtung sparen die eben auf und wie viele Vektoren gibt es sie diese diese Ebene senkrecht stehen ja ganz schön viele aber die zeigen alle die gleiche Richtung ja oder so gegen alle auf einer Geraden das heißt der hat schon nicht mehr so viel Auswahl deswegen gibt dieses eigentlich schon fast die Richtung vor plus Plus oder Minus die Richtung vor und aus dem Bett teil kriegen Sie was über den Betrag und wenn man sich das nochmal genau anguckt dann stellt man fest dass hat ja nicht mehr geometrische Bedeutung dieser Betrag was da oben steht in des ist die Fläche des von X und Y aufgespannten Parallelogramms also ich mal das gleich noch mal hin aber damit wir haben eine geometrische eine geometrische Beschreibung für keine wesentlichen
Eigenschaften dieses Kreuzprodukt also was ist damit gemeint sie unser Vektoren X und Y Hexe y mindestens ist ganz es natürlich dreidimensional denken dann sparen die im Parallelogramm auf das einmal so ein paar mal da gehabt zum Beispiel beim meine Dreiecksungleichung und der man 2 Vektoren addiert ja dieses Parallelogramm hier bitte von X und Y aufgespalten und X Kreuz y ist jetzt ein Vektor der 1. senkrecht auf X und Y stellt also wenn das XY der Grund Ebene liegen dann geht der hier so nach oben drüber als er stets sowohl senkrecht auf y als auch aufwächst können und seine Länge ist die Fläche von diesem Parallelogramm weiter das heißt sehen Sie wenn Sie jetzt XY immer weiter zusammen bringen wird die Länge von diesem Vektor schrumpfen weil die Fläche von dem Parallelogramm kleiner wird wenn Sie Excel y mehr zum rechten Winkel geht dann kommen Sie zum Quadrat kriegen sie sehr große Fläche das wird also diese Fläche von dem Parallelogramm spiegelt sich wieder der Länge von diesem weckte Konzept das ist das Kreuzprodukt an der Stelle erst mal vielleicht ein bisschen kryptisch aber sie sehen dass eine geometrische anschauen ohne werden im Verlauf der weiteren Vorlesung oder dann morgen noch mal drauf zurückkommen zunächst will ich jetzt sozusagen dies eine wie rechne ich mit Vektoren verlassen und wieder zurück comma auf die eigentliche Idee des hatten wir die eingeführt diesen eingeführt um damit Geometrie der Ebene und im Raum zu machen und Geraden Ebenen zu beschreiben und geometrisch Objekte zu beschreiben und da wollen wir jetzt zurück das ist der Abschnitt 4 begraben und Ebenen also Prager 4 Geraden und Ebenen und wenn wir das machen wird uns alles das was es gerade war wieder eine hohe Ehre wenn das keiner Produkte und Kreuzprodukt und alles mögliche auftauen aber es geht es erst mal darum zu überlegen wie man ja diese Sammer elementaren geometrischen Gebilde gerade und Ebene jetzt in Vektoren beschreibt wir hatten schon über Graben geregelt aber wir haben bisher nur wer gerade mehr 2 geredet da können Sie mir gerade beschreiben in dem Sie sind ein bisschen erwachsener führte die Steigung angeben das ist jetzt der nicht mehr so klar aber es gibt über direkte Rechnung wir relativ übersichtliche Methode geraten zu beschreiben und das ist jetzt mal abschnitt 4 1 beziehungsweise 1 12 also um was sie brauchen um legal zu beschreiben sind 2 Vektoren ein Vektor T und einen Vektor R und wichtig ist dass der wirkte er nicht gerade der 0 Vektor ist wenn Sie gleich sehen warum und da lässt sich nie gerade beschreiben als der die Menge aller Punkte x die schreiben lassen als P plus den Salamander mal R und dieses Land reisen Parameter das stoßen sie durch die ganzen reellen Zahlen variieren lassen wir also alle Punkte die Sie schreiben lassen als gebe es langsam mal er mit irgendeinem Land die gehören zur gerade und ich werde noch gleich zeigen dass das wirklich nie gerade ist man nennt diese Darstellung der gerade die Parameter von der gerade bei dieses Land da eben ein Parameter ist der
die gerade beschreibt und die einzelnen Teile haben dabei auch eine Bedeutung des P ist der auf period der Geraden das er ist der so genannte Richtungsvektor der gibt die Richtung der Geraden an und die Welt gerade geht wegen des eben und schön wenn der 0 ist nur keine Richtung und wie schon mehrfach gesagt landet man den Parametern so und jetzt ohne das auch ein Bild sehen Sie eine Folie mitgebracht das ich nicht wieder irgendwelche koptischen Kunstwerke in mal muss also wenn die Sonne gerade beschreiben die gerade die schreiben wollen es die gerade g die da sog wir von oben links nach unten rechts läuft brauchen Sie 2 Dinge sie brauchen ein Vektor P der auf period der irgendwie auf die gerade zeigt irgendwo war und sie brauchen den weckte er die Richtung angibt und was denn hier steht ist die gerade sind alle die Punkte die sie erreichen sie erst P entlanglaufen und dann beliebige Vielfache von erhalten Sie das mal machen einmal er zweimal dreimal und so weiter dann kommen noch untergraben wenn sie noch minus einmal er minus 2 Mal minus 3 Mal R dann kriegen sie die ganze gerade ja der aufgrund ist der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden genau also wenn Sie diese Parameter vom aufstellen wollen brauchen Sie einen Punkt auf der Geraden von dem Sinn Ortsvektor haben als als auf period und dann müssen Sie doch einen Richtungsvektor kommen wie man das macht kommt gleich das ist das ist dann
die Parameter vom von der geraden wichtiges dieses Bild zu behalten Sie beschreiben die gerade in dem sie mal vom Ursprung zu gerade laufen das macht P irgendwohin hin und von dem Punkt wo sie dann sind gehen Sie einfach alle 4 Wochen das Richtungsvektor entlang und dann haben sie kommen Sie zu allen Punkten der gerade er das Beispiel der sich hier haben auf dem Bild habe es sind
folgende Punkte also dass das Beispiel 4. vor eigentlich das ist gewählt mit P ist hier 5 1 der Richtungsvektor war es minus 2 1 und dann ist die gerade eben gegeben als alle die Punkte x die schreiben können als 5 1 Flussnamen da mal minus 2 1 Oberlander hat jeder der derzeitig läuft an das ist die eine Möglichkeit natürlich ist es jetzt interessant zu sehen wie kommen sie aus wie mehr Zweifall jetzt aus der dieser Darstellung in die bekannte Darstellung über Steigerung und Absen Abschnitt und umgekehrt wieder guten Achsenabschnitt sieht man die sofort auf dem Bild zumindest das dreimal die Steigung ist auch nicht so kompliziert wenn man sich dem Richtungsvektor minus 2 1 anschaut dies minus Inhalte während die spannendere Frage es vielleicht die umgekehrte also ich gebe Ihnen die Geradengleichung sozusagen in XY fahren in in in Steigung muss Achsenabschnitt Abschnitt Form und ich hätt gern die Parameter Form also die Geradengleichung ist y des 2 plus 1 und die Frage ist was ist es die Parameter der Formel davon hören mehr und was man macht und
das ist wenn man die Parameter vom haben will egal was welche anderen voraus meistens ist der zielführender Ansatz ist wurde ich legte gerade fest wie können Sie mir gerade beschreiben Sie brauchen 2 Punkte drauf an also bestimmen Sie mal einfach 2 Punkte die auf der Geraden liegen und ich zeige Ihnen dann wie Sie wenn sobald sie 2 Punkte haben auf die
Parameter vom kommen also der erste Schritt ist immer man findet 2 Punkte die auf der Geraden liegen und das ist wenn Sie jetzt eine Geradengleichung haben nicht so wahnsinnig schwierig setzen Sie 2 schöne Werte für x 1 kann man sich jetzt das Leben leichter oder schwer machen können jetzt sehr für XE und Pinien aber es ist wahrscheinlich sinniger sowas wie Normen einzunehmen oder so was also was wäre zum Beispiel wenn sie es gleich 0 nehmen dann es y 1 und wenn sie es gleich 1 nehmen dann ist Y 3 also die beiden Punkte 0 1 1 1 3 wir sind beide auf der Geraden sagen Sie 2 Punkte auf der Geraden liegen und dann schreibt sich die Parameter von ganz schnell hin warum haben gerade schon festgestellt was ist auf period Vektor also dieses P das P kriegen Sie als Ortsvektor von irgendeinem Punkt auf der Geraden Sie können sich wirklich jeden beliebigen raus suchen da war schon eine haben immer noch mal das P also dass der Ortsvektor von dem XP ist der auf period ja also 0 1 und was ist der Richtungsvektor die musste Richtungsvektoren liegen P und Q sollen beide auf der Geraden liegen also musste Verbindungsweg dort von Impfungen P und Q mehr der muss genau Richtung der Geraden zeigen wenn die beide drauf liegen 2 Punkte auf der Geraden haben nur denn hier unten und den da oben ja und die beiden jetzt mit dem Wetter verbinden dann hat genau die Richtung der gerade ein dessen zu sehr Siege Richtungsvektor also in kriegen Sie der Richtungsvektor in dem den Verbindungsweg davon Kon- P dem also den Vektor Co minus P das ist echt und Sekt an Namen haben wir schon alles denn es muss nur noch ausrechnen zusammensetzen also was ist die gerade
in dem Fall ist der wäre der Ort aller Punkte x die Sie schreiben lassen als der auf period das war 0 1 1 Ortsvektor von P plus in ein Vielfaches des Richtungsvektor ist und der Richtungsvektor Comenius P also 1 minus 0 und 3 minus 1 also 1 2 und Landa darf alle reellen Zahlen nicht auf auf die Weise haben sie dann sofort die Parameter Form wenn das Verfahren das können sie es auch in höheren Dimensionen machen wenn sie die gerade irgendwie durch was andres gegeben haben was sie brauchen um die Parameter vom hinzuschreiben sind einfach 2 Punkte auf der Geraden was es war period auf der Geraden haben wenn Sie denn ein zeitweise auf period und die Differenz als Richtungsvektor mehr zur damit
können jetzt mal zumindest Graden beschreiben und womit ich mich jetzt ein bisschen beschäftigen will ist wenn sie es im ohne gerade im Raum haben und die das obwohl ein und ich bin hier dann würde mich interessieren wie weit ich von der Grabenweg also wie kann ich Abstände zu solchen gerade der Ebenen angeben wir also wieder nicht das gilt den Problemen ich SPD Werk Mathematiker und deswegen frage ich erst mal was ist müsste behaupten Abstand was ist Abstand wie definieren den Abstand Absatz 2 Punkten es noch relativ angenehm war als unser Punkten es angenehm Nemsi sie Verbindungsstrecke und der Länge ist Abstand wir einfach aber es ist jetzt der Abstand von mir von einem Punkt einer Geraden was ganz natürlich haben sie ein einig viele Abstände nur also wenn Sie den Punkt haben und hier die gerade so was ist jetzt der Abstand ist die Länge oder die Länge oder die Länge ich würde schon der kürzeste genau was ist der kürzeste das weiß man nicht aber genau das ist die Definition der kürzeste Abstand und jetzt schreibe ich
immerhin immer der kürzeste auf mathematisch schreibt aber das ist genau die des sie suchen sich die kürzeste Verbindung zu der Geraden und die Länge von dieser Verbindung ist der Abstand also das ist begriff 1 4 4 was wir haben ist mir gerade wir gerade in allen und Sie haben noch ein Punkt oder ein Vektor Q wenn ich identifiziere wieder period und weckt indem ich einfach sagte period ist der gegeben durch den Ritt durch den Ortsvektor Kung und jetzt will ich definieren was ist der Abstand von Q zu gehen gut dann brauche in der Definition und nett Notation der Notation DGB Distanzen die von Code zu gehen da so und was machen wir um diese Distanz zu bestimmen wir bestimmen einfach mal den Abstand von jedem Punkt auf der Geraden zu unserm Bronco das war natürlich nicht wirklich was eine gerade hat verdammt viele Punkte und wenn alle Abstände wirklich bestimmt dass man länger beschäftigt aber theoretisch können wir das zumindest machen also wir schauen uns an den Abstand von jedem Punkt X zu Kuh auf der Geraden Was ist der Abstand in Mathematik das ist die Länge des Differenz Vektors also die Länge des Vektors X minus Q das ist der Abstand zwischen dem Brunco und dem Punkt X also dem Endpunkt des Tuscon dem Endpunkt des Rektors X wenn man sie am Ursprung aufhängen so das mache ich für alle IHKs in der geraten es habe ich ganz viele Zahlen für jeden Punkt X auf der Geraden 1 und von dem ich die kleinste das was mir den den kürzesten Abstand also ich nehme das Minimum den minimalen wert wenn XING liegt von dem Ausdruck Abstand von nix zu gehen er also ab der Abstand von X zu Q Norm von X minus Q für jedes x XING und auch von den kleinsten und das ist die Moderation der Zoo Herr
aber so kompliziert es da steht es bedeutet nichts als diese intuitive Ideen sie suchen sich von ihren period den kürzesten Abstand der gerade und den nehmen sie Zar das ist jetzt die theoretische Definition und des Nutzens gar nichts für die Frage der wie rechne ich in den jetzt nur aus also mache das als nächstes die rechne ich denn jetzt den Abstand aus also Berechnung von des Coogee und wie gesagt BQG ist nichts anderes als der Abstand vom period die zeuge von period Code der Geraden g also man nehmen wir haben die gerade die können wir dann wieder Meter Form darstellen also sei Exxon Parameter Form gegeben gehen Parameter wieder vom gegeben als die Menge aller Punkte x so dass XP plus andermal mal er ist Mittelland eine reelle Zahl also nehmen Sie zum Beispiel unsere Karte von da drüben und was ist jetzt die Bedingungen mit der wir den Abstand kriegen so ich habe das Bild jener müssen aufbewahrt das ist das gleiche Gebild wie gerade eben nur dass wir jetzt noch den Funk oder zu haben wenn dann Kohle wollen wissen wie weit ist der von der geraden Weg und der entscheidende der Trick ist das schon eingezeichnet wo ist der Punkt mit minimalem Abstand den kriegen Sie wenn Sie von Q das Lot auf die gerade Fällen also von Kuhn der Verbindungslinie zur gerade nehmen an der Stelle wo diese dann senkrecht auf die gerade wenn Sie jetzt versuchen die Verbindung von kurzer geradezu an period machen zu machen werden die immer länger als diese das ist die Kürze Verbindungslinien dies dadurch ausgezeichnet dass sie hier unten einen rechten Winkel haben mehr als diese gestrichelte Linie von kurzer gerade das ist die mit minimaler Länge und die ist dadurch ausgezeichnet dass sie hier auf im rechten Winkel auftritt wenn der den Abstand von gut und soll geraten haben wollen müssen wir diesen Punkt bestimmen wo diese 6 gestrichelte Linie auf die gerade trifft und dann den wenn ich mal x Sterne und dann müssen Sie den Abstand von den Stern zu Co ausrechnen wie gesagt Abstände zwischen 2 Punkten ist ja kein Problem es reduzieren weil das Problem Abstand zu gerade auf Abstand zu period uns ein sie was wir noch brauchen bis diese period X Stern dar wie kommen wir an diesem Punkt X Stern ran ja also gesucht ist x sterben in der Geraden so dass der Verbindungs- Vektor von externen Soko wie kriegen Sie denn da Verwendungszweck der von externen Soko oder von Kurt Fixstern des externen minus Q wir brauchen ein Vektor x Terminus Q ist der Vektor der genau in die Richtung diese gestrichelte Linie zeigt mir dass externes der Vorsprung vor dem Lot und Terminus Chors der Verbindungs- Vektor vom Punkt x stand Tsuku also der Einrichtung der von Code zu dem Punkt X Stern der den Richtung so gestrichen die gezeigt und der muss senkrecht stehen auf der Geraden das heißt er muss senkrecht steht auf dem Richtungsvektor F das ist die Bedienung die Ihnen diesen Punkt extern liefert nur was wir braunes ist vom X Stern und den kriegen Sie durch diese Bedingung und das ist auch die Bedienung die den period auszeichnet er muss so liegen dass die Verbindungslinie extern Q senkrecht auf geht das heißt senkrecht auferlegt so
und das gilt jetzt eine Gleichung weil das bedeutet den Weg durch den senkrecht aufeinander das bedeutet ihr Skalarprodukt ist 0 sehen warum bevor gearbeitet haben also externe minus Q Skalarprodukt mit R das muss 0 sein fragte externes sind period auf der gerade mein Sohn period auf der gerade das erfüllt das heißt Fixstern lässt sich schreiben als P Plus und lahmender Stern mal an also Sie können dieses extern schreiben als P plus flammender Stern er wobei sie das Land das dann jetzt natürlich so richtig wählen müssen das genau der Fixstern rauskommt aber dieses Landes Stern ist das was wir nicht haben wollen im WLAN der Sterne haben können wächst dann ausreicht also wir wollen dass E-Plus nahm Stern er multipliziert mit Ehren 0 ist lösen weiter aus dort ja ich habe es Q vergessen werden bis wir etwas anderes denn er ist das externe minus Q multipliziert mit er und das muss 0 sagt zur das ist die Bedingung der brauchen und Salander Stern zu bestimmen das an der Sterndamm bei externe Beckstein haben den Abstand von kurze geraten also rechnen was weiter aus was ist das
das Essen Skalarprodukt von zur Vektoren 1. ist kompliziert aus und habe gesehen dass gar Produkt gilt die Genialität also was wie wir Distributed kriege ich darf das aus multiplizieren das mach ich mal empfindlicher raus das ist der Vektor P minus Q multipliziert mit R plus der Vektor Lander Stern er multipliziert mit R alles das ist Distributivgesetz in mir gefällt das gar Produkts und schlussendlich aber noch gesehen wenn 7 Skalarprodukt ein der Vektoren mitnehmen Faktor multiplizieren und strecken dann können Sie denn auch ausziehen und das Skalarprodukt hinterher mit dem Faktor multiplizieren also das das gleiche WP minus Q multipliziert mit R Flussnamen darstellen mal er multipliziert mit R zur Zander nun ist gleich dieses Ding was wollen wir haben wir wollen wir haben das an der Stern die Gleichung lässt sich es wunderbar einfach nacheinander Stern auflösen Pachtungen jetzt geht sie wieder da also
wohl bis gleich ganz viel Rechnung und am Ende steht T minus Komunen 10 mit Air Plus Laiendarstellern multipliziert mit und das können Sie jetzt direkt nach Land auflösen also nacheinander Sternen was kriegen Sie dann wenn kriegen sie Landa Sternen multipliziert mit dem er er ist gleich minus T minus Q multipliziert mit er das ist einfach nur diesen Termin auf die andere Seite gebracht jetzt können Sie weil wir ja wissen dass er ist nicht 0 was ist das das denn er ist denn das Skalarprodukt von er mit erst Skalarprodukt von Vektor mit sich selbst ist das Quadrat der Norm das ist also die Norm R Quadrat und weil er nicht nur es ist das auch nicht 0 also dass wir damit durch die Medien an und das heißt Sie kriegen Laiendarstellern ist man nur das es er Produkt von P minus Promille R dividiert durch das Skalarprodukt von er mit L jetzt können wir noch bisschen Kosmetik machen ist eine schon schönes Ergebnis aber wir können so bisschen handliche hinschreiben denn sie das minus weder Skalarprodukt reinziehen minus vorne ist Mode die so mit minus 1 nicht die kann ich Ihnen das gar Produkt mit reinziehen habe ich minus 1 x T minus Q das es Comenius P multipliziert mit R Kindheit durch er multipliziert mit der ein allerletztes wird es wirklich nur Kosmetik aus dieser damit haben Sie das Land der erstarren und wenn Sie das Land der Stern haben dann ist alles gut weil das Land der Sterne liefert Ihnen jetzt das X Stern Eckständer war extern war P auf period Flussnamen nahm der Sterne er und wenn sie das externe haben also den Lot Fußpunkt die Stelle wurde gestrichelte Linie auf die gerade trifft den kriegen Sie den Abstand von gut so gerade als den Abstand von Q zu externen und der Abstand von gut Fixstern es einfach die Länge des Vektors Sternen minus Q hin so das ist das Verfahren und was man im Wesentlichen nur braucht ist diese schöne Formen hier für das Land der Stern wenn man das Land der Sterne hat man sofort das externe und damit auch den Abstand das heißt diese Rechnung die ich jetzt hier durchgeführt hatte sie Mal durchführen wenn die Problematik auftaucht sondern man kann direkt am Ende einsetzen um das Mama kann man an dem Beispiel da drüben also
das das Beispiel 4 6 nein bzw. im Maschinenbau Skript 1 15 und außerdem ist es comma 4 6 die Fortsetzung von Beispiel 4 zur also das ist das was da noch andere einstellt da hatten wir die gerade noch mal zu Erinnerung die gerade war gegeben als der geometrische an Ort aller Punkte x die Sie schreiben lassen als der auf period 5 1 plus lahmender X minus 2 1 nein der aus er das und der period oder da eingezeichnet ist der liegt bei den Koordinaten Was ist das 1 5 mit 2 5 ja 12 von hier aus bisschen Speck so war also die bei den Koordinaten 2 5 und die Frage ist jetzt was es dessen Abstand und die Antwort steht komplette oben also was ist hier P und was ist er das ist wie Feuer in der auf period ist P der Richtungsvektor ist er was ist also jetzt lande Stern nehmen Sie Reformen von oben Comino spielen kum spielen multipliziert mit geteilt durch er multipliziert mit R man muss nur noch einsetzen also was ist das ich
mehr Platz Q ist minus 2 1 minus P S 5 1 und davon das Skalarprodukt mit mehr es gibt jetzt ist dringender also 2 5 PS 5 1 davon das Skalarprodukt mit er minus 2 1 jetzt kommen oft wichtige gerade hier und unten steht Skalarprodukt von er mit sich selbst also Skalarprodukt von minus 2 1 mit minus 2 1 so und der Rest ist wieder Rechnung im einstelligen Zahl Raum immer gucken ist diesmal Ingrid also der Stätten Skalarprodukt Formen 2 minus 5 bis minus 3 und 5 minus 1 ist 4 mit minus 2 1 und einen tun würde ich das Skalarprodukt von minus 2 1 mit sich selbst das ist mir das zumindest minus 2 ist Plus 4 plus 1 ist 5 guten Tag das so und das ist das Skalarprodukt da
oben das ist minus mal minus 2 ist Plus 6 plus 4 ist 10 da das ist schön die mir die Aufgabe so gemacht das keine Worte 27 rauskommt alle 10 5. Telekom 2 raus so was sagt uns das Land Stern jetzt ja doch wieder zu weit
nach das Land darstellen liefert uns
das X Sternen das da ist der
Punkt der am kürzesten von Co weg ist auf der Geraden in dem wir einfach P plus Landa Stern errechnen und wenn wir das externe haben kriegen wenn Abstandes X Terminus Co also dem Länge von X
Terminus Q also in 1. extern aus also X Sternen ist okay plus darstellen er so war oben einsetzen 5 1 plus 2 zweimal minus 2 1 dass das Ergebnis einigermaßen plausibel ist sieht man auch an dem Bild dieser Punkt hier an dem das in der Not wo hin fällt das extern das kommt ziemlich gut hin dass das P plus 2 mal ist nur wenn es minus 3 Mal er rausgekommen wählt man sich wundern müssen 2 könnte sein also so vom oben Teil aber könnte sein so was kommt hier raus 5 plus 2 X minus 2 also 5 minus 4 S 1 und 1 plus 2 bis 3 EL also diese period X Stelle Modus Schloter drauffällt ist genau der Punkt 1 3 und jetzt können Sie den Abstand ausrechnen Abstand von Coetzer
geraten ist jetzt der Abstand von gut so X Sterne also der Abstand von Q zur Geraden g ist jetzt der Abstand von Q zu X Stern also X Termin Luschkow und dann die davon das ist jetzt auch wieder nur rechnen dem kleinen Zahlen x Sternes 1 3 Q ist da oben steht noch die Hälfte 2 5 haben also die Länge von dem Vektor minus 1 minus 2 und die Länge von Sonne rechnen sie aus in dem sie ist der mit sich selbst Skalarprodukt nehmen und dann die Wurzel ziehen also minus 1 2 minus 1 bis 1 plus minus 1 minus 2 ist noch mal viel dazu sind 5 und daraus die Wurzel ist Wurzel Föhn also ist die mit Abstand von dem kurze der gerade nur führt kurz das ist dieses Beispiel und ja man sieht man muss ein bisschen rechnen aber das schöne ist die Rechnung funktioniert nur in allen Dimensionen mit jeder gerade mit jedem period und im Prinzip muss man nur dieses Land der Stern der bestimmen und dann kriegen Sie es raus Gold sie sehen dabei
auch dieser Begriff des senkrecht der war vorhin mal so nebenbei eingeführt ist aber an der Stelle wieder zentral und taucht immer wieder auf und ich will den jetzt noch weiter noch weiter aus schlachten und zwar gehen wir jetzt wieder in den Fall von 2 Dimensionen zurück weil wenn Sie 2 nicht gerade in 2 Dimensionen haben dann können Sie die noch auf eine andere sehr praktische Art und Weise beschreiben und da spielt auch wieder senkrechten rollen er und zwar wenn sie ihn 2 Dimensionen sind also schauen sich wie das Bild da drüben an und die gerade dann können Sie die sowie da beschreiben indem Sie sagen auf period und Richtung aber sie können auch und das wird sich erstmal nutzlos an aber ist sie zielführend die gerade dadurch beschreiben dass sie sagen zumindest die Richtung der gerade dazu beschreiben dass sie sagen welche weg steht den senkrecht zur Geraden wenn Sie senkrechter Richtung wissen wissen Sie auch in die Richtung die gerade Geld und das ist der Hintergrund von dem was jetzt kommt das geht natürlich nur in 2 Dimensionen also sei G wie geraden Parametern Frauen also X ist man auf period plus Lantermann Richtungsvektor Name reeller Parameter und die gerade gesagt das entscheidende ist jetzt irgendwie den zweidimensional so dass seine gerade mehr 2 also ich dich die 2 ist wichtig so und ein Vektor der jetzt zu der Geraden senkrecht steht wie zum Beispiel gerade unser weckt Doku minus 6 Sternen der und der gut es gibt ein Wärter der steht immer senkrecht dass der 0 weckt aber den will ich nicht ja also ich hätte es gern ein Wetter das sehr gern senkrecht steht aber nicht hatte 0 weckte ist also was heißt der Geraden senkrecht stehen so der gerade senkrecht stehen heißt der muss senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden stehen also und deckte der senkrecht auf die Richtungsvektor der Geraden Städte nennt man einen Normalenvektor von D die senkrechte Richtung man auch die normale denn normalen Richtung und deswegen ist der sehr weckte denn die senkrechte Richtung zur geraden zeigt neben den Normalenvektor zur jetzt haben sie natürlich noch viele Freiheiten diese Normalenvektor zunehmender Sie können hier bei der gerade den Vektor x deren Q nehmen aber sie können natürlich auch 37 comma decimal 5 Mal den Vektor extern Co in der steht auch senkrecht oder minus 17 comma decimal 5 mal den Vektor ja völlig egal aber es gibt jetzt eine oder 2 davon dienen besondere Eigenschaft noch zusätzlich haben Sie können natürlich diese Freiheit weg nur mir nun sagen sie wollen ein haben dennoch der Länge einzahlt und so
eine Normalenvektor der Länge 1 hat der Krieg noch meine
speziellen Namen der heißt der normalen Einheitsvektor was ein Einheitsvektor ist der normalen Richtung geht also wenn sie zusätzlich haben das die Länge von diesem N 1 S dann nennt man dieses in einem normalen Einheitsvektor haben sie ist ein Normalenvektor weil sich weil senkrecht auf die gerade steht das ist ein Einheitsvektor wollen länger einzahlt und dann muss man sich macht man sich die schöne Eigenschaft der deutschen Sprache zu nutze das man alles einander kleben kann und dann wird daraus einen normalen einer Einheitsvektor meist oder oft wird dem mit N 0 bezeichnet kann natürlich auch eine N Elefant draus machen oder irgendwas aber nun ist eine relativ übliche Notation ja haben diesen Begriff eingeführt und wissen erst mal nicht so recht wozu lassen Sie mich mit dem einfach ein bisschen weiter spielen und wir kommen hin aufführe gut ist zur Wärmegrade wann immer Sie die gerade 2 haben hat die so Normalenvektor klar zu senkrechte Richtung so jeder vielfachen Normalenvektor ist auch einer normalen Einheitsvektoren hat nicht so viele nämlich genau 2 nein denn ein denn das also X der Hinrichtung von extern zu Co geht und Länge 1 hat und dessen negativer aber es gibt auf jeden Fall einen was wir machen können ist wir können wir unsere Parameter vornehmen und mit diesem Normalenvektor in Skalarprodukt durch Multiplizieren also das ist 4 8 beziehungsweise 1 17 ein period X bitte auf der Geraden g genau da das wenn X sich schreiben lässt es die Plus damals war er für einander WLAN daraus er dass es einfach Definition der Geraden g hören was ich jetzt mache ist nicht multipliziere dieses Gleichungen durch auf beiden Seiten der Gleichungen multipliziere ich mit dem normalen Einheitsvektor an was ist daran das schöne oder mit dem Normalenvektor brauchte nur nicht Einhalt zu sein wenn es auf der rechten Seite gucken da haben sie P plus Landa mal R n das können Sie wieder Namen Distributivgesetz oder linear Täter Skalarprodukt auseinanderziehen als PIN plus lahmender mal er Skalarprodukt mit allen so n indessen Normalenvektor von unsere geraten was heißt es Normalenvektor das heißt es steht senkrecht auf der gerade das was da steht senkrecht auf er das bedeutet dieser Talenten der mal 0 ja weil das Normalenvektor ist das heißt was sie
kriegen mir ist X ist auf der Geraden genau dann wenn das Skalarprodukt von X mit den Normalenvektor das gleiche ist wie das Skalarprodukt vom auf period mit dem Normalenvektor und das schöne an dieser Form ist da steht jetzt kein Lander mehr drin nein das ist Beschreibung der Geraden die nur noch auf die braucht jetzt nicht mehr in auf period und Richtungsvektor sondern die brauche auf period P und der Normalenvektor gut dass das auch geht es nicht ohne dich wenn sie denn auf period haben und Richtungsvektor der Normalenvektor angeben dann kriegen Sie Richtungsvektor natürlich gleich wieder zurück aber das schöne an der Form ist jetzt sie können kommen ohne das Lander aus und diese Form der gerade aufzuschreiben hat auch in eigenen Namen das
ist jetzt der Begriff 4 9 ab und diese Form der geraden aufzuschreiben hat auch Vorteile in manchen Berechnungen da kommen wir gleich zu also den gegeben uns wenn wir gerade vor meinetwegen Parametern Darstellung ist das was wir gerade können also sind heute geometrische Ort aller Punkte x die sich schreiben lassen als P plus nannte er wobei Lande Irene Zahn ist das ist mir gerade und wie gesagt das Ganze was ich jetzt gerade mache in geraden R 2 und dann hätt ich gern das N 0 einen normalen Einheitsvektor von dieser geraten ist wenn Sie den kriegen wenn sie die haben in der Form comma gleich zu aber jetzt können wir erst mal sage ich erst mal wir haben den irgendwo her
dann aber gerade gesehen dann können Sie Ihre gerade auch anders schreiben dann ist da wenn Sie nicht gerade schreibe schreiben durch die Gleichung x Skalarprodukt mit N 0 ist gleich eine Zahl die 0 dass die 0 ist in dem Fall das Skalarprodukt von P mit N 0 in diese Form der Gleichungen zu Schreine Grand mehr gerade hinzuschreiben die nennt man die Hessen Normalform von gehen Normalform weil der Normalenvektor vorkommt Hessen nach denn sein nach einem Mathematiker fragen Sie mich jetzt in den von er ist in Normalform von häufig abgekürzt HNF er und das ist der zweite Möglichkeit diesen der gerade angeben können was Sie angeben müssen ist dass er 0 und ist diese Zahl die 0 in dem Moment wo Sie das N 0 und das 0 angeben liegt damit die gerade fest und die gerade sind enthält dann alle die Punkte der Skalarprodukt ict alle die Punkte x so dass das Skalarprodukt von X mit der 0 genau den 0 gibt für Informatikern ist das erst mal so schön weil sie haben den Aufwand dass der Speicher auf 1 reduziert wir auf period und Richtungsvektor brauchen Sie 2 Lektoren das brausende Wochenmärkte und Zahl schon mal weniger zu bemerken und für uns ist einfach nur zweite Möglichkeit er mir gerade zu beschreiben und warum ich mich jetzt als 1. kümmern will ja oder nein worauf ich jetzt noch Hinweisen wäre ist das bei dieser Methode
wie jetzt diesen Normalform was der Parameter von rausgekommen ist direkt zu sehen ist wie sie die letzte Normalform kriegen wenn sie die Parameter Form haben die erste Normalform kriegen sie in dem sie die Parameter vor mit dem normalen Einheitsvektor durch multiplizieren also nehmen sich ihre Parameter Form her bestehenden bis stehen wir normalen der normalen Einheitsvektor und multiplizieren beide Seiten und Skalarprodukt mit allen 0 ja also multiplizieren der Parameter fahren mit N 0 ich würde ihn aus der Armee der von der seiner mag die kriegen sie aus der wir sind Normalform die Parameter vor frage Sie Prinzip schon beantwortet wie immer was brauchen Sie für die Parameter vom 2 Punkte also dem sich diese Normalform her suchen sich irgendwelche 2 Punkte die gleichen erfüllen ein VX gleich nur gleich einsetzen Toten und 85 Prozent der Fälle nein sie 2 Punkte wenn sie Zeitpunkt kriegen Sie die Parameter vom sie das lassen sich relativ einfach ineinander über rechnen und was ich Ihnen jetzt noch zeigen will ist warum die erste
Normalform interessante ist weil sie nämlich in manchen er zusammenhängen diese ganze Abstand wir Rechnerei sehr viel vereinfacht wenn Sie natürlich sagen warum hat uns den dann jetzt ne halbe Stunde dem blöden Abstand vor die X wenn das jetzt einfacher wird berechtigter Einwand aber auch unberechtigt bedenken Sie das was ich hier mache geht nur für 2 Dimensionen 1. Normalform gibt es nur in 2 Dimensionen wenn sie die gerade sich im dreidimensionalen vorstelle dann hat die nicht mehr eine Normalenvektor sondern ganz viele war also die die voll da sind aber auch ein der genau auf Sie zurzeit deshalb auch senkrecht zu der gerade und noch ganz viele andere nahm sie den ganzen Kreis von normalen Einheitsvektor wenn können Sie das so nicht mehr beschreiben und dann bricht die ganze Methode zusammen das heißt alles was ich in Folge Zeit habe macht weiter sehen sobald sie mehr als 2 Dimensionen aber wenn sie nur in 2 Dimensionen sind ist die Abstands berechnen würde Hesse vom viel einfacher und das will ich Ihnen jetzt zeigen dass der Satz 4 Zehen weil im Wesentlichen manche Abstände schon in dieser Hitze Normalform kodiert sind also dieser Satz geht jetzt sozusagen hat es den einer Blickwinkel wir sind bisher immer von der Parameter Form gekommen und dann gesagt weil die Dame der Formen die gerade beschrieben aber was wir gerade hier gesehen haben sie können noch umgekehrt mit 1. Normalform Anfang und sagen ich habe mich gerade die seit ich diesen Normalform beschrieben also ich habe einen Vektor n 0 der Länge 1 hat also in 0 ist ein weckte er 2 der Länge einzahlt wenn von in 0 gleich 1 das ist der normale Einheitsvektor von meiner werden und die 0 ist eine reelle Zahl in und durch die Gesetze gerade gegeben also gehe ist die gerade R 2 die die 1. Normalform Skalarprodukt von X mit allen 0 ist gleich die 0 hat durch diese Gleichung ist mir gerade gegeben mehr damit davon wie
gesagt kriegen sehen den sie sich 2 Punkte darauf suchen und dann wie vorhin ein period als Ortsvektor auf period ein Richtungsvektor es Verbindungs- weckte der beiden Punkte so arbeitsame die erste Normalform und wenn der Abstände bestimmen wollen dann brauchen Sie auch genau diesen alles andere Senegal weil der Satz sagt für jedes Q aus er 2 also egal welche period sie hernehmen Geld dann dass der Abstand von gut zu gehen das ist das was von unbedingt haben wollten den kriegen Sie indem Sie die Zahl die 0 das Skalarprodukt von Q mit allen 0 abziehen im Prinzip ist das schon aber dabei kann ist wahlweise was Negatives rauskommen also noch den Betrag und das ist schon alles da ich auch einfach als Freund Sie müssen ein Skalarprodukt ausrechnen und 2 Zahlen von abziehen und betragen die besonders einfach ist ein Spezialfall der wichtig ist wenn Sie wissen wollen wie weit die gerade vom Ursprung weg ist also der Abstand vom Ursprung des wars das ist der Abstand ist 0 weckt auszugehen setzen Sie da oben doch Marco gleich 0 1 dann kriegen Sie direkt Betrag die 0 also diese Zahl die 0 die hat durchaus eine Bedeutung die bedeutet die geht an den Abstand der Geraden zum Ursprung genau gesagt ist der Betrag der Abstand am Vorzeichen sehen Sie ob die gerade nördlich oder südlich am Ursprung vor weil können gut das damit haben wir mit deutlich einfacheren Methode Abstände auszurechnen sie müssen einfach nur eben in diese Formen einsetzen ich will Ihnen das jetzt dafür jetzt keine Beweise noch mal vorrechnen dass ist natürlich auch nochmal entsprechend Rechnung wie vorhin er aber der Vorteil ist sie machen diese Rechnung einmal und dann an Sie die förmlichen und können einfach entsetzt da sondern ich will jetzt mit Ihnen mehr er den neuen mit der neuen Methode das Beispiel noch mal durchrechnen und offen und hoffen dass ich wieder wozu 5 rauskriege das wär ja sonst nicht gut
also aber was wir natürlich dazu erstmal
brauchen also das ist das Beispiel 4 11 und das greift jetzt wieder auf das Beispiel 4 6 das damals das Beispiel für 2 aufgelöst also vergleiche Beispiele 4 6 und 4 vor so werden wir unsere
gerade von vorhin die war mehrfach schon beschrieben werden auf period 5 1 plus lagen mal dem Richtungsvektor minus 2 1 nahm aus er und dann hatten den period Q von dem wir den Abstand haben wollen und das war der Punkt 2 für für ein also immer noch gesucht Abstand von 2 5 zu dieser geraten und wenn ich natürlich jetzt mit DSL über Normalform arbeiten wir brauchen erst mal die 1. Normalform das brauchen wir für die
es mal vor für diese Normalform brauchen wir normalen Einheitsvektor von der geraden also brauchen weckte der auf Ehre senkrecht steht wo kriegen wir jetzt also ein weg daher der auf also senkrecht steht ja jeder Vektor minus 2 1 und das schöne ist in zweidimensional in 2 Dimensionen ist so und senkrechten Vektor finden kein Hexenwerk das müssen Sie machen 10 in Vektor zu dem sie was senkrechtes suchen vertauschen die beiden Einträge und dreht ein Vorzeichen um also zum Beispiel der Viktor 1 2 tut sind die 2. 1 tauschen die Plätze und bei einem von den beiden zwischen so Vorzeichen wenn sie jetzt mal ausrechnen was das Produkt von den beiden ist nur minus 2 mal 1 plus 1 x 2 bis 0 ab 10 senkrecht also haben siehe Normalenvektor wir brauchen oder für die erste Normalform ich irgend Normalenvektor sollen einen normalen Einheitsvektor in neue und die kriegen Sie den also müssen der Normalenvektor normieren was ist die Norm von dem man nur 1 plus 4 bis 5 Watson 5 also 1 durch Wurzel fünfmal den Viktor 1 durch Wurzel 5 x 1 2 das ist dann der normalen Einheitsvektoren oder einen normalen Einheitsvektor es gibt immer 2 der andere wäre dann minus 1 durch Wurzel 5 x 1 zu 1 1 so unheimlich in vollen gesagt wie kommen sie aus der aber weder Form so Normalform sie multipliziere Parameter vor mit dem normalen Einheitsvektor durch also das es gegeben durch den geometrischen Ort aller Punkte x die gleichen erfüllen X multipliziert mit dem normalen Einheitsvektor also X multipliziert mit 1 durch Wurzel 5 1 2 das ist das gleiche wie der wie das P multipliziert mit dem Einheitsvektor mit den normalen Einheitsvektor also 5 1 multipliziert mit 1 vielleicht wollte 5 mal 1 2 und eigentlich noch plus langsam mal er multipliziert mit dem normalen Einheitsvektor aber er mal der nochmal eine 2. 0 das fällt also weg so die linke Seite können wir naturgemäß nicht besonders viel ausrechnen weil da steht und das extrem aber rechts können wir alles ausrechnen und was der übrig bleibt ist 1 durch Wurzel fünfmal das Skalarprodukt von 5 1 mit 1 2 das ist fünfmal 1 plus 1 x 2 also 7 zwar recht steht also 7 durch Wurzen 5 und im Prinzip steht hier jetzt schon die 1.
Normalform von der Sender mal Form von GIS X multipliziert mit N 0 ist einzig wozu 5 1 2 ist gleich 7 durch vorzuführen er man es jetzt versucht so
wenn man sich das so zum 1. Mal anguckt Zusagen alten das uns das Ganze doch bitte mal mit wozu 5 durch multiplizieren dann verschwinden diese hässlichen Bug hässlichen Wurzeln dann steht da noch X multipliziert mit 1 2 7 sie doch viel schöner aus zugegeben aber dann ist es keine so Normalform wäre es ist eine Gleichung die die gleiche Klage gerade beschreibt der sehen Sie natürlich diese gleich mit wozu 5 durch Mode beziehen in sie eine Lösungsmenge Mix ist noch die gleiche gerade aber es ist keine sehr Normalform mehr über die erste Normalform schreibt vor aus gutem Grund das hier ein Einheitsvektor steht er und ich irgendein Vectra deswegen wenn sie denn eine jetzt wenn sie erst einmal vom haben wollen müssen Sie diese blöden wozu 5 der Stelle stehen lassen so und was man jetzt noch häufig macht ist dass man die 1. Normalform nicht so hinschreibt sondern dass man auch für das man noch diesem Vektor x in seine Komponenten zerlegt also schreibe Vektor x ist der Rektor mit den Komponenten XY und was sie dann kriegen es wenn sich das X jemals XY vorstellen dann wäre die erste Normalform 1 durch Wurzel 5 x 1 x x plus 2 durch Wurzel 5 X Y ist gleich 7 durch vorzuführen so werden sie die erste Normalform da normalerweise finden und Sie sehen dass ist das wieder mehr gleich ums Form der geraten und warum aber
das gemacht wie gesagt gewollten Abstände über die erste Normalform ausrechnen also was ist hier in 0 das haben wir schon mal n
0 es einzig wollte 5 1 2 was ist hier denn 0 die 0 ist die rechte Seite der Normalform also 7 durch Wurzel 5 und ich habe den gesagt dieses rechte Seite die 0 von dessen Normalform die die geometrische Bedeutung das ist gleichzeitig und automatisch der Abstand vom 0 Punkte Geraden g also der Betrag davon aber sie durch wozu 5 müssen dem Fall positiv also der Abstand hier vom Ursprung zu der gerade noch oben müsste man jetzt wieder Notfällen mir aber dieser Abstand hier der S 7 durch vorzuführen und wir können jetzt auch noch mal wieder den Abstand von Q zu unserer geraten aus rechnen wie gesagt die
Hoffnung ist es kommt wieder 5 raus also Abstand von gut zu gehen und nach dem Satz den ich ihn gerade gesagt hat ist das was das ist die 0 minus das Skalarprodukt von mit dem normalen Einheitsvektor davon der Betrag der das ist der Abstand müssen besitzen dem Fall einfach nur ausrechnen wenn alles was da steht haben wir das ist eben durch fortzuführen nie Neues bei Cisco Q 1 2 5 unter normalen Einheitsvektor war 1 durch Wurzel 5. steht da oben noch ein bis 2 Uhr in den Betrag zur also das ist Betrag von 7 durch vorzuführen Nena ist 1 durch Wurzel fünfmal Skalarprodukt von 2 5 mit 1 2 bis 2 plus 10 bis 12 jetzt wird es langsam werde also das ist Betrag von 7 minus 12 also von minus 5 durch vorzuführen in der wenn ich langsam fröhlich der Betrag mir das minus auf das es 5 durch vorzuführen von jetzt an Simone Voce 5 kürzen und dann bleibt der Wurzel 5 übrig also kriegen auch auf dem Weg aus dieser Abstandes vorzuführen aber aber die Rechnung um diesen Anstand auszurechnen sind jetzt noch 2 Zeilen also ab dem Moment wurden die wohl 1. Normalform habe musste ich diese Normalform aber die hat sind 2 Zeit und ich werde folgende Seite das ist der Vorteil von dessen normal vor aber immer dazu gesagt der Trick funktioniert halt nur 2 Dimension an aber da ist es sehr praktisch und Normalform hat auch sonst noch viele Dinge wo sie auftaucht deswegen ist die jetzt auch so ausführlich eingeführt ich mache nix zu setzen dass mir keine Sorgen er ich will nur einfach noch kurz sagen wie es weitergeht ich werde der nächsten Vorlesung diese ganzen Überlegung eine Dimension eben und dann schauen wir uns eben dann an im Prinzip gleiches Programmen und wir werden feststellen es funktioniert auch genauso wir kriegen es in Normalform dann im dreidimensionalen und wie er das machen wir morgen für heute danke ich Ihnen oder Aufmerksamkeit und das Wort
Kosinusfunktion
Faktorisierung
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Vektorrechnung
Momentenproblem
Norm <Mathematik>
Vektor
Zahl
Richtung
Summe
Skalarprodukt
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Mathematiker
Kosinusfunktion
Faktorisierung
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Homogenes Polynom
Rechter Winkel
Reelle Zahl
Nullstelle
Abschätzung
Vektor
Null
Gradient
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Rechter Winkel
Schwebung
Vektor
Multiplikation
Vektorrechnung
Vektorraum
Kartesisches Produkt
Vektor
Zahl
Einfach zusammenhängender Raum
Kartesisches Produkt
Vektorrechnung
Reelle Zahl
Zahl
Kreis
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Kartesisches Produkt
Zahl
Addition
Multiplikation
Betrag <Mathematik>
Vektorrechnung
Distributivgesetz
Symmetrie
Vorzeichen <Mathematik>
Kartesisches Produkt
Vektor
Zahl
Summe
Skalarprodukt
Distributivgesetz
Biprodukt
Kartesisches Produkt
Sinusfunktion
Skalarprodukt
Multiplikation
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Vektorrechnung
Biprodukt
Vektor
Kartesisches Produkt
Richtung
Ebene
Parametersystem
Länge
Vektorrechnung
Dreiecksungleichung
Dreidimensionaler Raum
Fläche
Parallelogramm
Biprodukt
Vektor
Kartesisches Produkt
Richtung
Objekt <Kategorie>
Quadrat
Menge
Betrag <Mathematik>
Reelle Zahl
Rechter Winkel
Geometrie
Gerade
Parametersystem
Punkt
Parametersystem
Vektor
Gerade
Richtung
Parametersystem
Inhalt <Mathematik>
Parametersystem
Punkt
Hidden-Markov-Modell
Norm <Mathematik>
Vektor
Gerade
Richtung
Ebene
Parametersystem
Länge
Punkt
Reelle Zahl
Mathematiker
Gerade
Parametersystem
Länge
Punkt
Vektorrechnung
Berechnung
Baumechanik
Vektor
Zahl
Richtung
Linie
Menge
Reelle Zahl
Rechter Winkel
Minimum
Meter
Mathematiker
Gerade
Faktorisierung
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Distributivgesetz
Biprodukt
Gleichung
Schwebung
Vektor
Quadrat
Länge
Skalarprodukt
Vektorrechnung
Homogenes Polynom
Schwebung
Vektor
Promille
Linie
Skalarprodukt
Homogenes Polynom
Fortsetzung <Mathematik>
Schwebung
Zahl
Koordinaten
Länge
Punkt
Schwebung
Gerade
Parametersystem
Skalarprodukt
Länge
Normalvektor
Vektor
Zahl
Gerade
Richtung
Parametersystem
Skalarprodukt
Multiplikation
Länge
Distributivgesetz
Gleichungssystem
Normalvektor
Schwebung
Gerade
Richtung
Parametersystem
Skalarprodukt
Berechnung
Normalvektor
Geometrische Figur
Gerade
Parametersystem
Skalarprodukt
Total <Mathematik>
Momentenproblem
Normalform
Mathematiker
Gleichungssystem
Normalvektor
Gleichung
Normalform
Zahl
Parametersystem
Kreis
Länge
Gleichung
Gesetz <Physik>
Vektor
Zahl
Negative Zahl
Skalarprodukt
Betrag <Mathematik>
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Reelle Zahl
Normalform
Dimension 1
Hitze
Normalvektor
Normalform
Gerade
Punkt
Normalform
Parametersystem
Skalarprodukt
Normalform
Vorzeichen <Mathematik>
Normalvektor
Geometrische Figur
Vektor
Einfach zusammenhängender Raum
Normalform
Gleichung
Schwebung
Vektor
Lösungsraum
Skalarprodukt
Momentenproblem
Betrag <Mathematik>
Normalform
Gerade

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Fortsetzung Vektorrechung, Geraden und Ebenen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 07
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
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DOI 10.5446/35633
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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