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Folgen und Nullfolgen

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Roman sind hier und und in dann man so sagen was das für den hat er ihn an der TU Darmstadt so meine eigenen
herzlich Willkommen zur heutigen Vorlesung ich habe bevor ich ins inhaltliche einsteigt eine organisatorische Ankündigung wer wie am Anfang und ich hatte ihn am Anfang gesagt er wolle den Global im Zuge der Übung zu der Vorlesung Probeklausur schreiben als Angebot an Sie dass Sie sehen dies als eine Klausur wie sie Klausur aus die zählt dann genauso wie ein Haus Übungsblatt ist also relativ irrelevant es geht nur darum dass sie eben mal sehen wie so was läuft und da war der Termin noch offen und die Planungen wäre jetzt die 2. Woche nach den Weihnachtsferien also die Woche die was 21. Januar los geht in den Übungsstunden dieser Woche ich würde sie hätten wenn es irgendwelche Gründe gibt die absolut gegen diese Woche sprechen aus ich bin dann noch und machte gerade Skiurlaub oder ähnliches sondern sondern Klassiker in andere Vorlesung hat eine verpflichtende zwischen Klausur liegen oder so was er dann werden Sie mir das bitte möglichst bald dann können wir da dann kann man das auch nochmal verhandeln ja aber sozusagen unsere Planung wäre jetzt die 2. Woche nach in die 2. Woche nachdem es wieder losgeht gut ansonsten war ich er dabei was wir folgen zu erzählen dann gesagt das was heute kommen wird mir ganz entscheidende Vorlesung ich will langsam anfangen und den Faden zum letzten Mal aufnehmen da die ich ihm erzählt am besten stellen Sie sich eine Folge vor als unendlich lange Listen von reellen Zahlen also im zahlen eine hinter der andern unendlich viele die werden durchnummeriert mit natürlichen Zahlen naheliegend Aal A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 und so weiter und so der Folge wollen wir uns anschauen erstmal Eigenschaften sammeln die Sonne Folge haben kann und was man in den Hinterkopf haben sollte warum schaut man sich diese Folgen an man sich an weil sie ein sehr einfaches Modell von Unendlichkeit bilden man hat unendlich viele Zahlen wenn er da steht das unendlich drin und man kann damit sich dem Unendlichen mal mehr also ich hatte letztes Mal angefangen Eigenschaften zu sammeln die Sonne Folge haben kann das war die Nummer 1 3 beziehungsweise 6 2 sonne Folge hat sich eben gesagt schreibt man in Mathematik spreche wenn aus damit es kurz Gemeinden die Liste der Zahlen a n wobei n für alle natürlichen Zahlen durchläuft also die Liste der 1 A 2 A 3 A 4 A 5 und so weiter so und diese Folge heißt 100 ich letztes Mal schon hingeschrieben das 1. eine besonders übersichtliche folgen so genannte konstante folgen die einfach also zum Beispiel die Liste der 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 in alle Ewigkeit das wäre eine konstante Folge also es muss ein C geben in er eine konstante und das gilt das am gleich C ist für alle in Aussicht das nennt man eine konstante folgen diesen relativ übersichtlich aber damit der Begriff eingeführt ist dann hatte ich über positive Folgen und negative Folgen erzählt eine positive Folge ist eine so dass jedes Folgen geht jedes 1 eine positive Zahl ist also ohne negative eine wo dass eine negative Zahl ist also wenn für alle in aus Geld das das sehr positiv dass am größer 0 ist beziehungsweise für negativ dass ein Strick kleiner nur also das ist auch kein besonders der überraschende
Begriff und als letztes hat ich glaube ich noch alternierend hingeschrieben als er genauso ein einen Fall von einer Folge die gänzliche weder positiv noch negativ ist sondern eine Folge die alternierende Vorzeichen hat also immer nach einer positiven Zahl kommen negativen und positiven der negative und das lässt sich schön kurz so schreiben wenn für alle n aus allen gilt das wenn Sie 2 aufeinanderfolgende freudig wieder miteinander multiplizieren dann sollen den Verschiedenes Vorzeichen haben das heißt das Produkt von 2 aufeinanderfolgenden Folge wieder ist immer negativ das bedeutet nichts anderes als die beiden am Verschiedenes Vorzeichen und das Glück 14 alternierenden Folge so dann
das auf der folgenden Monotonie im eine monoton wachsende Folge können Sie sich auch hoffentlich was drunter vorstellen ist eine Folge also in Listen von Zahlen wo jede Zahl größer und größer gleich der davorstehenden ist nach einem wachsende von Zahlen bzw. eine monoton fallende listet also ist der von Zahlen wo jeder Eintrag kleiner gleich den vorhergehenden ist also monoton wachsend oder fallend wenn für alle n aus in die Welt verwachsen A 1 plus 1 ist größer gleich am also ich zum nächsten Folge zum nächsten Listeneintrag des dann krieg ich nicht Zahl die größer gleich ist bzw. verfallen wenn ich zum nächsten Eintrag die den Griechen Zahl die kleiner gleich ist das denn wo ich bin es hat nur bei Funktionen auch diese Begriffe monoton wachsend und
fallend und da waren die noch angereichert um die entsprechenden strengen Varianten streng monoton wachsend fallen können Sie natürlich auch machen also wir konstant in Folge ist nach dem im Griff hier immer monoton wachsend und monoton fallende weil beide Ungleichungen gelten der wir sogar im 1 plus 1 ist gleich ein und um darf die wieder auszuschließen gibt es den Begriff streng monoton wachsend streng monoton fallend das ist einfach das gleiche mit dem strikten kleiner oder strikten größer also wenn für alle es war das Gleiche wie oben nur mit der strikten Ungleichungen wenn für alle n aus gilt das entweder am Fluss 1 strikt größer 1 für streng monoton wachsend oder im plus 1 strikt kleine N für strengen vom
fallen tja es ihn noch ein letztes hatten wir
auch schon bei Funktion nämlich den besprengt Hals Begriff Erfolges beschränkt wenn keine beliebig großen Beträge auftauchen also wenn der Betrag von am für alle in irgendwo kontrollierbar bleibt oder anders ausgedrückt es muss eine Schranke C geben eine reelle Zahl C so dass die Beträge von am dieses Zini überschreiten also mit Betrag am kleiner gleich C für alle aus die Zahl 10 nennt man dann eben also er sagt eine Folge ist 16 beschränkt wenn sie geht eben wieder nach oben noch nach unten also nicht über C und nicht unter minus 10 hinaus es bleibt ihnen in dem Intervall minus CC gefangen so dass ein ganzer Stapel begriffenen weil wir mal so rau scrollen habe ich die Nummer noch vor jeder Wahl das würde geht es langsam an auf Führung damit wir uns daran bei im weiteren orientieren können und ja diese Begriffe tauchen immer wieder auf monotone freundlich folgen beschränkte folgen alternierende folgen der versteht und jetzt kommt noch eine kleine Klinik mit dem bei Funktionen mich hatten man kann alle diese Begriffe von konstant des beschränkt noch mit dem Zusatze fast überall versehen das mache ich mein Essen extra viel Begriff 1 4 mehr und was ist denn
bitte schön damit gemeint fast über alle hört sich so dermaßen und exakt an das kann der
Matte Vorlesung gar nicht vorkommen doch was über alles ein absolut exakt definierter Begriff und das kommt jetzt er also das Folge A N hat eine Eigenschaft also insbesondere eine von den gerade eingeführten oder auch eine andere hat die Eigenschaft besonders grün zu sein oder irgendwas fast überall werden das Folge ist es unendlich lange Listen von Zahlen und wir wollen uns die Unendlichkeit kümmern wir als uns interessiert ist nicht für mich die 1. 7 Einträge von der letzte das ist wenn es muss unendliche geht egal sein was es ist ja das was passiert ganz unten lässt er ganz unten jetzt nicht da was passiert wenn Sie diesen weiterlaufen und deswegen ist es ganz oft so dass meine folgert die am Anfang irgendwelchen Kokolores macht und dann man brav wird und dieses das muss man jetzt formal fassen diese ab irgendwann das heißt fast überall also in Folge hat der Eigenschaft fast über alle und das mit gern auch der vom period abgekürzt falls diese Eigenschaft aber irgendwann gilt das heißt falls es einen Index N 0 geht also es gibt irgendeine nicht ein Eintrag in die Liste der aber eine eine Stelle in der Wüste ein Index eine Zeile 1 zeigen Nummer in der Wüste falls es mit seinen normalen der dass die gibt die den ich im All er so dass
ab dieser Zeilennummer die Eigenschaft die also so dass die Eigenschaft für alle am mit größer gleich 0 das es das heißt die 1. N 0 die 1. 762 folgende dürfen irgendwas der Quatsch machen aber ab nur 700 62 am riesigen oder 63 ist alles gut und ab dann ist die Eigenschaft F für das bedeutet fast überein das sich auf der Folie das mal so formuliert in Folge ist fast überreich Peak wenn es immer nur die zu dass die geben für alle in größter gleich im 0 geht und für fliegt dürfen setzt einsetzen was Sie wollen Herr beschränkt konstant oder wachsen oder von Freyend grün und gerade egal was gut das ist dieses fast überall wenn jetzt einmal so viel neue Begriffe jetzt brauchen wir dringend Beispiele also Beispiel 1 5
Schörghubers es noch 6 3 so also Beispiele von folgen und ich glaube wir jetzt mal auf diese Zoo von Eigenschaften ab 1. Folge die Folge am ist im Quadrat minus 15 und es größer gleich 1 ich mir folgende für jedes ändern sie nützten reelle Zahl wir können uns überlegen wie sie der Anfang von der Folge aus gleich 1 1 minus 15 bis minus 14 in gleich 2 2. 3 bis 4 4 minus 15 bis minus es wenn gleich 3 9 minus 15 bis minus 6 dann haben wir gleich 4 16 minus 15 bis 1 25 minus 15 bis 10 36 minus 15 bis 21 mehr und mehr Folge und was ist die 1. was man mal sieht es also zumindest dass sie mich am Anfang die Vermutung kriegte was auch stimmt das ist mir streng monoton wachsende Folge ja der weil jedes Folge geht es größer als das vorhergehende dass man jetzt natürlich die 1. 6. keine Beweise für die Liste ist unendlich lang und selbst wenn für die 1. 300 was gilt dann kommen danach dann sie damit erst 0 Prozent 100 Philister abgearbeitet wir denn da comma noch unendlich viele also dass die Ansteigens keine beweisen wenn man sich's wenn man sich die Formel anguckt sieht man eben wenn das größer wird dann wird auch der größer kann man natürlich auch sauber Nachrichten gut wenn man sie alle durchgehen ganz sicher keine konstante Folge er und ganz sicher auch nicht alternierend ja die ist Kanzler negative Werte und sie hat auch positive Werte aber die kommen nicht immer abwechselnd bei den die würde heißen Vorzeichenwechsel über die ganze Länge der vorgab das ist hier ganz sicher nicht der Fall so jetzt kommt positiv negativ 1. Reflex wieder noch sehr negative Einträge positive Folco Folgenglieder dies weder positiv noch negativ stehen aber sie ist fast überall positiv es kommt dieses fast überall ins Spiel sie ist fast überall positiv weil ab den gleich 1 2 3 4 wir haben gleich 4 sehen Sie comma noch positive Zahl in dem Sinne ist dieses fast überall zu verstehen es davon anfangen K Ausreise geben aber ab und ab einer Stelle muss es für alle dies nicht was über einen relativ sondern nur den 1. 3 ist fast überall positiv er soll es fehlt nur noch dass damals es ist nicht Constanze ist fast über positiv sie's nicht alte werden sie sonnig fast überall alternierend der fängt nicht irgendwann an ist nie alternierend sie streng monoton wachsend noch Beschränktheit beschränkt ist nicht unbeschränkt ja weil salopp gesagt wenn sie mit dem Ende nur groß werden wird es im Quadrat auch immer größer und das 15 abziehen ändert daran nicht viel also die wird wann immer sie annehmen die würde unter einer konstanten C bleiben finden Sie problemlos und n also Begründung fürs unbeschränkt er also
Begründung für meine ganzen Behauptung er ist also nicht konstant denke ich muss sie nicht begründen sieht man nicht alternierend sieht man auch begründe ich ihn mal dass das Ding streng monoton wachsend ist wie würde man das jetzt saubermachen das muss man zeigen Definition muss zeigen 1 plus 1 ist immer größer als am also nehme sich irgend n aus hier das muss er für jedes NSN gelten also nehme man sich 1 und dann schauen wir mal was ist denn mit dem 1 plus 1 1 plus 1 ist nach Definition den plus 1 Quadrat minus 15 der Karte Listen ein der Listeneintrag ist in Quadrate des 15 das ist der im Fluss 1. Eintrag im Plus 1 vorab minus 15 können Sie das ist auf jeden Fall mehr endlos eines Quadrates größer als in also ist das sehr wohl sehr gleich im Quadrat minus 15 und das ist ein und schon steht da tja was
haben wir das ich hatte noch behaupten dass denn es unbeschränkt warum es ist beschränkt werden nehmen Sie an dass wir beschränkte oder versuchen sie beschränkt so zeigen es wird schief gehen also nehme sich in C werden Sie nur sehr gleich 0 ja was wir zeigen müssen beschränkt heißt es gibt sie so dass der Betrag von 1 kleine gleich C ist für alle in unbeschränkt heißen heißt es wegen für jedes C finden wir am mit betrage 1 größer gleichziehen oder größer als C sogar ja also wir gehen unseren C vor und das Ziel ist das Ziel für beschränkt ist finde ein allen aus allen so dass der Betrag von A 1 größer wird als wenn Sie sich für jede Szene kriegen wir jede Szene finden Sie in so dass ab betrage in größter C ist dann kann das dann nicht funktioniert also das dann umgeschrieben so immer dass wir das können einfach ausrechnen er und zwar nehmen Sie folgendes nehmen Sie irgend n das größer ist als Wurzel C plus 15 CS positiv also das C plus 15 erst recht positiv und sehr selten
natürliche Zahl größer gleich plus 15 ist man sogar besser eine die Stricke größer ist das spart dann gleich noch ein bisschen Technik und dann kriegen Sie das das ist n verraten dass 15 n ist größer als 10 Wurzel C plus 15 das heißt der Ausdruck ist größer Strick größer als nur sehr sehr plus 15 verraten dass 15 Welt sehen Sie warum nicht nur zu C plus 15 genommen hat das Quadrat macht die Wurzel weg das ist sehr groß 1515 und das ist und jetzt haben sie für das gegebene CNN gefunden so dass am Strick größer als sie ist das gut damit ist die Unterschrift zweites Beispiel eine Folge
B PIN minus 1 Woche n durch im Quadrat auch da wieder erst mal überlegen wie sieht die aus der mein Gefühl für kriegen es immer ganz gut mal die 1. paar Folgen wieder hinzuschreiben was passiert wenn Sie n gleich 1 einsetzen minus 1 Suche eines ist minus 1 gibt negatives Vorzeichen x 1 x 1 durch 1 Quadrat also minus 1 ist das 1. Folge geht wenn sie 2 einsetzen wie das eines Quadrates positives plus 1 kommt ein Viertel raus mit 3 kriegen sie minus 1 9. plus 1 16. minus 1 25. und so weiter also sehen ist einst durch die Quadratzahlen und das Ganze mit wechselnden vor 10 Jahren welche dieser den die den Aldi A 1 nicht beschränkt und beschränkt Thomas Frank weil wir haben für jedes Zusagen für jede potenzielle Konstante C für jede potenzielle Schranke C haben wir einen gefunden mit einem größer als sie also Betrag eigenen genau zu sein ja also wir haben gezeigt weil immer mehr gut weil immer meine angehen könnte sonst sehe beschränkt die Folge Busses in Wahrheit nicht meist noch in Folge die gibt es darüber nicht galt bei der hier stellt sich die Frage zu 9 können jetzt auch wieder alle
Eigenschaften durch den nur bisschen schneller dies auch offensichtlich nicht konstant es ist auch nicht positiv und auch nicht negativ dies auch nicht fast überall positiv oder fast über ein negativ weil eben immer wieder in positives und negatives Vorzeichen haben CES alternierend ja das war der Begriff mit dem wechselnden Vorzeichen das haben Sie hier alternierend dann mit Monotonie ist natürlich wenn Sie mir alternierender Folge haben immer es sich ja denn jede Folge springt immer von Plus nach minus der wird nix monotones dann kann ich also entweder alle oder monoton oder gar mit gar nichts davon aber alle Viren und monoton ist nicht es sei denn Sie haben in div konstante 0 folgen er aber sie ist beschränkt also den wir der Folgerung beschränkte hier ist beschränkt vielleicht kurz viele Gründung waren
sehr beschränkt ist also die Begründung warum Sie alternierend ist schlichtweg nachrechnen der Definition das müssen Sie machen zu müssen 2 aufeinanderfolgende Folge dieser nehmen mit 1 multiplizieren minus 1 doch endlich im Quadrat X minus einzurennen plus 1 durch im plus 1 Grad und dann feststellen dass es negativ und die Beschränktheit macht mir wie wir müssen zeigen für alle natürlichen Zahlen sind diese Ausdrücke betragsmäßig immer kleiner gleich irgendeinen irgendwann an einer Zeit sehe eine 318 da und das Wesentliche was wir brauchen ist für alle natürlichen Zahlen alles in Sachen sind größer gleich 1 das sei es weil sie größer gleich 1 sind sind auch ihre Quadrate alle größer gleich 1 so jetzt nehmen diese Ungleichungen und dividieren oder dividieren Sie durch im Quadrat A das dürfen Sie tun weil Quadrates positiv also ändert sich das Relations Zeichen nicht dann kriegen so 1 ist größer gleich 1 durch in war und damit habe mir die Folgen Kasten
warum das müssen wir machen müssen uns den Betrag von DNA anschauen der Betrag von DNS minus einzurennen durch im Quadrat das ist nach Betrags Rechenregeln der Betrag von minus 1 Woche hindurch im Quadrat Betrag der Betrag von Vertrag unten leiste Betrag komplett nutzlos weil sind frei von positiven Zahl ziehen dann bleibt der Betrag das was vorher da war also gleich noch der Betrag von minus 1 hoch n aber des auch langweilig wenn das also sehen wieder minus 1 und egal was es ist Betrages 1 der also ist das eines im Quadrat und wohl einzig im Quadrat wissen wir dass es immer kleiner gleich 1 und was jetzt hier steht ist der Betrag von GM ist da man gleich 1 für alle aus allen also ein mögliches C da drüben ist 1 2. bestmögliche C dem Fall aber das ist ganz egal gut da noch einen letzten Punkt sehr der jetzt
kein konkretes Beispiel ist ein Beispiel dafür dass man jetzt natürlich anfangen kann hier alle möglichen Sachen zu kombinieren also sagen schauen wir uns mal konstante folgen an das sind wie gesagt besonders einfach folgen Constanze folgen 3 3 3 3 3 3 3 oder die Kiwi TikiWiki was das Geld für die von den Eigenschaften je nachdem was die Konstante ist sind sie natürlich positiv oder negativ es ist ein ganz sicher nicht alternierend aber sie sind doch so wie vorhin sagte sowohl monoton wachsend als auch monoton fallen natürlich nicht streng aber sie sind monoton wachsend und monoton fallend und konstante Folgen sind immer beschränkt auch logisch wäre die Folge Konstanz 7 7 7 7 ist denn dieser Betrag immer kleiner gleich 13 und damit gesteckt war gut das sozusagen grundlegende Einführung zum Thema folgen und jetzt hat ich gesagt Folgen für meine ein weil man das Unendliche angehen will das aber bisher nicht gemacht haben es immer müssen folgen den Eigenschaften beschäftigt und das soll jetzt als nächstes kommen da sie wollen jetzt schauen wie sieht es mit dem Unendlichen aus und das heißt was wir uns anschauen wollen ist den sich die Folge wie das lange Listen vor zum Beispiel als mehr entstanden als Näherung also Frage kam mir letztens häufiger auf wie wir haben uns lange Nullstellen von Polynomen unterhalten und dann war die Frage wie berechnet man die jetzt und die Antwort ist keine Ahnung geht im Allgemeinen nicht wir rechnen kann man sehen wenn das Polung hochgradig ist nur näherungsweise sprich gibt Computer Algorithmen die sieht das Polynom hernehmen und halt der entweder ganz banal der Versuch und Irrtum oder mit etwas genialeren Methoden auch schneller sich der größte wären und was diese eine halbe wird man dann ausspucken sind immer besser werdende Näherungswerte die können Sie sich idealisiert natürlich wird Ihr Rechner nicht unendlich lange arbeiten insofern würde wir endlich wieder voll Näherungswerte ausspucken aber man sieht signalisiert vorstellt ist unendlich lange arbeiten und spuckte ihn eine unendlich lange Listen von immer besserer Währungen aus und diese wenn ich dann ist es folgen nehme das immer bessere Näherungen ihrer ihrer wohl Stände und wer was wir jetzt brauchen ist mehr denn dieses Konstrukt das und sagt diese Mehrung was heißen immer besser die werden sich einer gewissen Zahl an mehr und was dieses kleine Zahl sich an der das müssen wir mathematisch korrekt beschreiben und das an der Stelle diese Fallen lauern das will ich Ihnen jetzt demonstrierender zwischen kleinen Exkurs machen der ja der auch so ein bisschen ich hoffe auch ein bisschen Mathematik Unterhaltung ist und der dient jetzt nicht dazu ihn noch massenweise Stoff mehr dazu
zu geben sondern der dient der Zoo im
Wesentlichen ihnen zu zeigen würde so
unendlichen zu tun hat dann passieren Dinge die sind nicht unbedingt intuitiv und dann muss man aufpassen und das ist die Begründung dafür
warum man warum waren an der Stelle genau das ist warum man an der Stelle eine sehr exakte mathematische
Beschreibung braucht und nicht mehr mit so Alltags gefühlt wird seine Intuition arbeiten kann und das ist hier mit mit dem Titel gemeint das Unendliche ist und intuitiv und man muss also was ist denn zeigen soll es muss sauber definieren und gut aufpassen was man tut wenn man einfach nach Gefühl geht kann man sich im Unendlichen Verlauf okay so immer dass ich in mir blättern kann und womit ich das machen wenn
es ich bin mit den Gedanken es sich unendliche Summen anschauen ich bin unendlich viele Zahlen addieren ist natürlich fragen oder die 5 anderen Standpunkt der wenn ich für die Zahlen addieren ist Quatsch weil ich habe unendliches Leben und mehr als endlich wird sein krieg ich nie addiert da kann man sicher bestand und stellt dann verpasst man viele interessante Dinge ich habe mal ein konkretes Beispiel mitgebracht nehmen Sie mal diese Summe dar 1 durch die Zweierpotenzen und die ganzen Zahlen auf subsumiert und ich will Ihnen jetzt ist der Moment wo ich mit Hafen vermisste also noch mal kurz zurück die kann ich jetzt zurück aus dem Vollbildmodus das war jetzt die Kandern hier nur oder und wenn man also meine es gibt natürlich eine Möglichkeit aber also das ist nur weil schöne ich brauche einfach ein Stück Tafel
also was war das ich wollte mit Ihnen rechnen eines bloßen Halle ein Viertel bloßen 8. flossen 16. und so weiter erhöhen gut 1. Möglichkeit sich stellt sie am Stamm und das macht keinen Sinn 2. Möglichkeit zu gucken sich folgendes Bild 1 ein Quadrat ungefähr wieder 1 Rechnung noch ein halbes dazu ja das ist mir das eine 1 ist das halt was kommt jetzt noch das Wohnviertel und dann kommt der 8. dazu nach dessen Hälfte von dem Viertel also das Stück mehr vom 16. dazu und 16 ist ne Hälfte von 8. also das Stück hier dann gucken 2 32 sind so dass die Hälfte von dem was wir gerade hatten also das da 64. im 128. 256. nennen Sie sehen also kommt aber es wird so auch was rauskommt ist einfach durch draufgucken offensichtlich 2 ja ich hoffe dass kann man nie nachvollziehen also einzuhalten verloren haben comma was dazu aber meinen immer von dem was noch viel zur 2. Hälfte dazu also kommt am Ende offensichtlich 2 auf die Frage Sie welchen Sinn aber es kommt 2 raus ja irgendwie machen also
diese irgendwie machen diese unendlichen Summen also schon sehen Hmm und
da kommt 2 Focus müssen so überlegen darum was das heißt da kommt 2002 aus gut wenn wir schon dabei sind machen wir weiter so also gut geklappt zu mir mal die Daten eines bloßen haltlosen Drittel plus unverdrossen 5. also noch weitermachen da kann man noch stundenlang weiter die am 6. und 7. und 8. und 9. 10. wieder unendlich viele wenn es darum so gut klappt muss das hier auch klappt SPD diesen Spielverderber zeigen wir Folgendes ja die Einzelnheit lassen sich so aber diese beiden Daten 3. und 4. diese beide größer als Alsenviertel Alsenviertel sind viel größer als ein Viertel auf ein Drittel des auch größer als befürchtet das heißt die zusammen sind größer als 2 Mainviertel da 2 Zahlen sind die bei den Ursachen für das sind also die 2 zusammen sind mehr als Inhalt sehen Sie die nächsten 4 die nächsten 4 diesen alle größer als 8. wir mal von dem es ein Achtel des kleinsten also haben sie viermal 8. also das ganze das mehr als viermal 8. Inhalt 10 Sie nächsten 8 die nächsten 8 diesen alle größer 16 mein 16. das kleinste der Reihe von 8 das heißt die 18 zusammen größer als 8 mein 16. das widerhallte das langsam das wohl nicht aber was passiert wenn das ist aber damals sind die nächsten 16 für die nächsten 16. alle größer als 2 30. das können Sie es will ich weitermachen das genau ist neidlos inhaltlosen haltlosen Halbwissen haltlosen haltlos halt unendlich oft ist ziemlich viel ja also wohl doch nicht alles doof das Ding es übrigens berühmten heißt harmonische Reihe und ist ein Beispiel einer unendlichen Summe die nicht sinnvoll ist sorry ist ist das Problem dass darum geht gut das darunter ist Mist Busnetz die oben das sind auch alles in die man was klar ist wenn ich immer 1 plus 1 plus 1 bis 1 oder noch schlimmer 1 plus 2. 3 plus 4 plus 5 rechne das kann nicht gutgehen die unendlichen weil wir zu viel aber sowohl bei der 1. bei der zweiten werden die Zahlen dich zur die immer kleiner das hat uns bei der 1. dass die Sache gerettet und bei der 2. Edition die Ski also was wir sehen ist in gewissem Sinne denn diese Zahlen und nicht schnell genug Leid die werden zwar auch klar sich da der zur die mit immer weniger aber es wird halt ist es immer noch zu viel das kommt und endlich raus dann jetzt kann man und da gibt es das ist dann ein ganz spannendes Thema
die Frage stellen was geht der ja also diese summierten zahlen müssen schnell genug leiden werden so weit es klar ja und bei dieser harmonischen Reihe werden seit nicht schnell genug sein das Beispiel na gut ein wenn Sie über einzig K summieren also Einfluss erhalten würden 5 Uhr 5 das zu viel also wenn Sie mal nicht alle nehmen Sie zum Beispiel nur die Quadratzahl oder die Primzahl damals machen alle 3. Potenz wir sind wie sieht man diesen Mist Fingern an ob das jetzt vernünftig ist oder nicht was rauskommt comma Garten was halten Sie von 1 was Vernünftiges raus Abstimmung Weste für das was Vernünftiges rauskommen aber ganz viele die habe ich jetzt jetzt fieser was kommt raus da kommt mir jetzt wird es entweder man hat zum letzten Jahr gesehen oder man kommt nicht drauf wo kommt das her ja wenn wir Zeit haben am Schluss von diesem Semester kann in Zeiten wo das Peer Kopp das ist die das Tapie Quadrat 6 das kann ich im Moment nicht begründen aber es ist so gut weil sie den Primzahl bringt seine C nicht so furchtbar viel oder aber immer noch den noch Prinz eigentlich kommt wieder mehr auf das ist irgendwie schon mal Vertrag zwar das begründet jetzt aber nur dass diese Fragen dieser unendlichen Summation spannend ist aber noch nicht dass sie und intuitiv ist ja damit da kommen komische Sachen heraus aber es ist irgendwie klar was dahinter steckt es die addierten zahlen müsse schnell genug gegen 0 gehen und wenn sie das nicht tun dann kommt nicht aus und wenn Sie das tun dann kommen welche skurrilen Werte heraus so jetzt kommt aber das sozusagen in dieser wirklich seltsamem Teil es geht mir zweite Möglichkeit wie sie so eine unendliche Summation dazu bringen können das was endliches rauskommt die eine möglich dass er die in immer mehr und das wird schwer genug wenig und die zweite Möglichkeit ist sie machen wechselte Vorzeichen Rhein-Sieg gucken sich alternierende zum zum Mann an und eine Möglichkeit ist dieses Ding hier also Sie sorgen dafür dass es nicht zu viel wird in dem sie immer mal addieren subtrahieren an den so dringend dem wir also hier ein haltlosen 3. minus Viertel bloßen 5. das 6. und so weiter denke das Bildungsgesetz es schließlich ja vorgesehen wenn sie über ratlos sind schreiben dass es für die harmonische weil danke dass wir das unendlich groß jetzt kommt wieder so ein netter Effekt das Denken hat vernünftigen wert denn auch n paar Wochen begründen können aber Moment kommt etwas überraschend das ist natürlich viel Rohkost von 2 Gott einem zugegebenermaßen das mühsame Methode die natürliche über muss von 2 hinzuschreiben am sehr sich hier aber darum geht es nicht sondern also das ist auch berühmten heißt die sogenannte alternierende harmonische Reihe nur weil es ist ja wohl rein mit wechseln vorzeigen sondern worauf ich jetzt raus will es folgendes wir den uns mal diese Reihe hier und gucken uns die Norm Sie genau an also diese unendliche Summation hier einziges Mal bloßen tritt müssen und jetzt kommt die auf Forderung an
sie ich brauche Zahl X werden die reelle Zahl 72 danke jeweils kommt Wohnzimmer 42 er 72 genau was ihnen jetzt behaupte er hatte weder Mond 3 konnte den 2 raus und ich glaube denn jetzt dass sie rein nur durch Umsortieren der so und der Summation also genau mit diesen Zahlen aber nur durch eine andere Reihenfolge bis zum Mehrens es erreichen können dass 72 rauskommt da können auch erreichen dass 33 rauskommt dann müssen wir die an zu portieren ja also nur durch das Sortieren der Reihenfolge 10 man genau die Zahl 7 in keiner dazu und keiner weg und sie drin noch bei keiner das Vorzeichen und also einziges Mal besonderen insofern 5. Sie sortiere nur die Reihenfolge um und sie kriegen jede beliebige Zahl aus zum Beispiel 72 und das kann ich ihn auch das kann ich ihm erklärt dass es nicht mal die das kann ich erklärt die Magie heißt also die nicht mal die heißt großer Riemannsche Umordnung Satz nach dem großen Mathematikerin man der sich das ausgedacht hat und damit sicherlich damals einige Leute Erstaunen versetzt hat und ich würde das gern weitergeben so was machen wir Wir sortieren mal unser unsere 3 Linien bisschen unser Baumaterial also wir haben die positiven so meinten wir negativen sondern ich habe die negativen Marot gemacht und die positiven und was wir haben ist als Baumaterial die positiven 1 bloßen 3. flossen 5 getroffen 7. TuS 9. und die negativen Leiden das für das 6. bis 8. lustig das gucken wir erstmal die untersten Zeile die rote an und was immer mache sich der Mann ein Minus Inhalt aus können diese untere Reihe diese untere Summation ist halt mal 1 Plus-Marktes 3. bloßen 5. 5. Busse 6. und so weiter wo das den kennen das was entsteht ist die harmonische Reihe das ist das wird unendlich groß war also wenn Sie diese ganzen negativen Dinge da aufsummieren da kommt man das halt mal endlich raus aber dass es immer noch minus unendlich er soll heißen mit diesen Zahlen mir können Sie beliebig weit im Keller laufen wenn man sich wenn Sie genug von den zusammenzählen kommen Sie und der jede negative Zahl drunter diese nur wollen da das ist das ist das was hier wichtig ist egal ob sie minus 300 oder minus 5 Tausend vor geben wenn sie lange genug addieren sind sie drunter jetzt ist es darum nicht ganz einfach aber glauben Sie mir für diese Zahlen da oben gilt das Gleiche also diese positiven Beiträge eines bloßen würdelosen 5 Übungen sieglosen 9. 11. wenn man sie aufaddiert gibt es auch unendlich ja also wenn sie nur lange genug von den agieren können Sie wir jede Schranke gefaxt nur egal was ich vor den 5 Tausend 782 wenn sie lang genug addieren sind sie größer als 5 Tausend 7 2 8 Sr und mit dem Baumaterial komme jetzt nach 72 also wie erreichen wir nun die
Summe 72 wir haben unsere unendlich viele positiven Summanden die alle zusammen beliebig groß werden wenn unsere die viele negative so machen wir alle zusammen ich klein werden und jetzt ist der die die Handlungsanweisung die folgende wir wissen mit diesen positiven so machen komme über jede Grenze also insbesondere bei 72 ja was jetzt so machen ist sehr wir müssen jetzt sortiert sie wissen müssen umsortieren 172 Land für den jetzt so lange von diesen positiven bis über 72. machen Sie es sich um Papier weil das wird zwar beliebig groß je mehr sie agieren aber das braucht verdammt lang also den sie sich dafür dafür müssen sind kleines Rechner Programm schreibe ich würde mal schätzen und bis 72 zu kommen mal so 1. 10 Tausend oder so der beim Verbrauch das hört sich ne ganze Menge an dieser total egal wenn 1. 10 Tausend 9 Prozent von der ganzen von der ganzen Summation sie eine unendlich viele 10 Tausend nichts das noch billig Verdacht hören aber wir sind über 72 also wir deren sondern von unserm positiven Beiträgen bis Weber 72 sind dann nehmen wir auf uns ziehen wieder ab bis jetzt und kleine Stücke über 72 jetzt nehme die minus nachhallt und sie ab und dann immer noch über 72 sind was ja unwahrscheinlich ist aber dennoch das sollten Sie wieder 172 da man sie wieder positiv solange bis sie wieder über 72. unternehmen sie wieder negative solange bis sie wieder 72. sehr positive Sie drüber sind negative drunter und so weiter und das schöne ist und so muss sich überlegen was dabei passiert bei meiner beliebig viel Baumaterial hat wenn man kommt beliebig große wie ich klein hört jeder diese Summation endlich vielen Schritten auf wie gesagt ist aber derzeit die sich über 72 bin ich würde wie gesagt setzen lassen sind zumindest so fünfstelligen Bereich von so man aber sie kommen an und zwar immer nach endlich vielen und das bedeutet auch wenn sie 10 Tausend Stück verbrauchen sind immer noch genug übrig und 2 unendlich viele Summanden er mir egal wie viel sie verbrauchen sie haben unendlich viele Sinn ohne die viel übrig andererseits werden die Beiträge die sie das was sie dazu addieren oder abziehen wird immer weniger aber sie verbrauchen also wenn positive brauchen sie und man dann negativen geht es langsamer aber auch dafür brauchen sie mit der Zeit erzeugt und das was dazukommen oder abgezogen immer weniger das heißt die Näherung von diesen 72 wird immer besser im Laufe der Zeit stellen die sich auf 72 ein und die ganze Überlegung ist 172 komplett unabhängig Danzig kann sie mit 35 machen und minus 17 damit sehr erstmal die negativen denn bis minus 17 sind oder darauf und darunter wieder rauf und runter und großen Verlust das heißt so altgewohnte altgewohnte Gewissheiten wie das es einfach egal ist welche Reihenfolge ich Zahlen addieren gehen plötzlich total vor die Hunde und das ist das was ich Ihnen hiermit zeigen will 1. ist total faszinierendes Thema und zweitens man muss vorsichtig sein mein Mann mit alle seiner gewohnten Erfahrung plötzlich Aufsicht schlüpfrigem Grund stehend kann und sich überlegen muss was darf ich eigentlich noch und was darf ich nicht und das ist das Ziel jetzt dieser Einführung die Konvergenz und in die Einführung ins Unendliche gut er so weit dazu gibt es dazu sie tragen ja gut lassen Sie es einfach erst mal sacken ich wette Folien auch zum Material auf die Seite stellen wenn Sie es auch noch mal anschauen so wie es denn nun in die Vollen die gut also wir haben
diese er ja nun ähnliche Summen an ich schaue ich habe gesagt was wir was wir jetzt als 1. fassen müssen ist diese Frage in welchen Sender zum Beispiel kommt jetzt bei raus wo es jetzt hier die Folge diesen bisschen versteckt in welchen Sinn immer diese Summe 2 an indem Sie einfach immer 1 so 1 zu nehmen als in dem Fall wäre das A 1 1 das A 2 wäre 1 plus Inhalt des A 3 wäre 1 plus inhaltlosen führte das er 4 wäre 1 plus inhaltlosen glücklosen 8. auf die Weise nähern sich immer besser der 2 also die nächste die Liste die sich vorstellen müssen sind diese sukzessiven Summation und warum wir uns jetzt kümmern müssen ist was bedeutet das diese Folge nähert sich 2 Fachbegriff konvergiert gegen 2 und ich werde diese Konvergenz erst mal einen noch eine spielt das Spiel in dem Spezialfall machen und zwar nicht nur Sonne listet konvergiert gegen im werdende Zahl sondern komme geht gegen 0 was machen das erstmal mal nur für wohl und 10 das dann hoch auf allgemeine auf den allgemeinen Fall und dieser Begriff also das für zur so
genannten 0 Folge und das ist wenn Sie so wollen was jetzt kommt ist die zentrale Definition für den nächsten mehr sage mal bis zum Ende von hatte 2 er auf der ganz viel von dem was später kommt dann aufgebaut ist und was wir machen wollen dass wir schauen uns also eine Folge an eine unendlich lange Listen von Zahlen und das wir mathematisch fassen wollen ist diese letzte konvergiert gegen 0 also kommt der 0 beliebig nahe kommt beliebig nahe 0 ja ist eine in allen am Ende im unendlichen perfekte Approximation der 0 ganzen Anführungszeichen wird nun im Unendlichen aber es es gibt eben keine und entließ Listeneintrag er so und Sonne folgenden man 1 0 folgen und jetzt ist die Frage wie fasst man das das Team ohne endlich beliebig klein wird und das Problem ist man kann natürlich nicht über das Unendliche reden man kann immer nur über die Folgen
wieder reden und der Knef dieser Definition ist dieses unendliche die einzelnen Folge wieder runter zu brechen und was man macht es na gut was bedeutet dass meine Dienste die Einträge der Liste die gehen gegen 0 das heißt die werden betragsmäßig beliebig klein der Betrag meines ist jetzt folge kann positiv gegen 0 oder negativ gegen 0 laufen das ist völlig egal sie kann auch erworben und langsam gegen 0 gehen aber was wichtig ist die die Beträge der Folgenglieder müssen beliebig klein werden müssen beliebig nahezu 0 Corp und das fasst man folgendermaßen das heißt jetzt beliebig nahe ja und das macht man folgendermaßen dass man sagt für jede zu also für jede denkbare Abweichungen für jede denkbare Abweichung von der 0 für jeden Fehler den die Folge sozusagen noch macht und der heißt üblicherweise Epsilon für jedes Epsilon größer 0 gibt es eine die Nummer des Eintrags in der Liste ein Index 1 1 1 0 aus allen so dass der Betrag von dem A n kleiner ist als das y für alle in größter gleich und für jede
zulässige Abweichung von 0 das versetzte an dass es im damals eine sehr kleine Zahl für uns interessiert nicht für welche Indizien ist die Folge noch mit noch höchstens 380 von der 0 weg ist uns interessiert für welche in die noch 100 Tausendstel oder zehntausendsten von 0 weg ist er das es also vorzustellen als kleine Zahl nahe 0 positive Zahl aber kleinen Tausendstel zehntausendsten Millionstel und für jeden noch so kleine vorstellbare Abweichungen natürlich wird ohne Folge am Anfang weit weg sein sehen Sie die Folge 1 erhalten 3. 4. 5. 6. und so weiter die leert sich meiner der 0 an am Anfang ist die Welt weg Anfang sie bei 1 aber sie kommt man näher ran und die Definition bedeutet für jede Abweichung die Sie meinetwegen auch zugestehen da muss es irgendwo weit unten ein Listeneintrag geben ab denn diese Abweichung immer eingehalten wird also ab dem immer der Betrag kleiner ist y ist ab diesem Eintrag im also mit dem vorherigen Instrumentarium anders formuliert für jedes Epsilon größer
0 mehr Gerald das das Betrag A n kleiner ist y ist fast überein nur fast überall war genau das es gibt n größer gleichen nur so dass die Eigenschaft gilt ab dar ich kann so mal anders formulieren er folgendermaßen stellen Sie sich vor Sie haben also Ihre Liste der am könne unendlich lange Listen und die wollen sie sollen im Computer gespeichert werden oder die Wolken sind sie nicht was wenn ich lange nicht menschlich weil der Platz aber idealisiert und wenn Sie das machen was passiert dann jeder Computer hatten ähnliche Rechengenauigkeit oder der endlich die Genauigkeit wir die Zahlen speichern kann und wenn der Folge gegen den Zahlen immer kleiner werden wenn das gegen 0 konvergiert dann bedeutet das aber irgendeine Stelle in ihrer Liste der speichern Sie nur noch 0 wenn man irgendwann so die Zahlen so klein dass sie unterhalb der Rechengenauigkeit liegen das ist was diese Definition aus sagt für jede vorstellbare Rechengenauigkeit Ihres Rechners gibt es das das selbst geht an die Big nah dürfen 2 Zahlen zusammenliegen dass sie rechne sie gerade noch unterscheiden kann für jeden die Rechengenauigkeit gibt es mehr Schranke N 0 sodass ab da an ihre letzte wenn sie abspeichern und kleines die Rechengenauigkeit hochdrehenden rutscht es weiter nach unten aber für jede Rechengenauigkeit muss es irgendwann die Stelle geben ab der nur noch 0 müsste stehen das ist die Definition und das schöne Definition ist sie redet nur von endlichen Dinge eine Definition komme nur endliche natürliche Zahlen vor und trotzdem macht sie eine Aussage über das unendlich das ist ihre Stärke wer sagt macht die Aussage die Folge ist im unendlichen nähert sich beliebig nahe der 0 und das Kriterium ist das hier ist ein endliches Kriterien waren und das ich
kann auch schon sagte aber noch damit auch da steht das klar ist je mehr Ärzte sondern die 0 kommt also hin die kleiner Mann seine zulässige Abweichung Epsilon wählt desto größer muss man im Allgemeinen das er 0 wählen das er 0 sagt ab dieser Stelle in der Liste für die Zahlen alle betragsmäßig kleiner als Ärztin und das selbst und kleine wird wird diese Anforderung restriktiver dann muss man unter Umständen er das er 0 natürlich vergrößern das ist aber auch völlig ok das muss man im Allgemeinen das er 0 zu wählen wenn das Epsilon kleineren der 0 geht muss man das N 0 Service vergrößern machen aber das ist auch okay was sagt die Definition die sagt für jedes Erbsen und muss eine 0 geben das heißt es in 0 dürfen Sie sie davon so zusammen dem man 0 warten bis sie das selbst 1 haben doch die gegen eine y muss es eine 0 geben so das Geld für müssen nicht 1 0 produzierendes für alle Ärzte tut sondern sie dürfen warten bis in die Mitte setzen und sagte dann müssen Sie sagen ok wenn sie Genauigkeit von 100 Tausend haben wollen dann hält die Folge die ab dem dreiht 165. folgen wird ein gut das ist die grundlegende Definition eines lassen Sie uns denn ein Beispiel angucken weil dies auch auf
Folie also müsste da gleich wieder erscheinen aber ein Beispiel Beispiel 1 7 und immer mal sozusagen die die klassische 0 Folge der den Mut der Modellfall einer nun folgen die ein fast sozusagen fast einfach möglich der nämlich die Folge eines durch in der also welche Folge ist dass das ist die Folge eines Inhalt am 3. und 4. im 5. und so weiter mehr wenn sich die jetzt als lange Liste vorstellen dann ist die Anschauung klar die geht gegen 0 Einträge werden immer kleiner und unendlichen wird diese Folge beliebig nahe 0 reingehen also das ist der Kandidat für 0 Folge die sollte unsere Definition passen dann versuchen wir es doch mal also was müssen wir tun um zu zeigen dass das Ding 0 Folge ist das
also was wir zeigen wollen ist dieses ist 0 Folge was müssen wir tun genau das was da steht für jedes Ärzte noch einer 0 finden so dass der bitte tut was für ein dass der Index n größer als es in 0 ist der Betrag von 1 kleiner als Ärzte und wird gut wie macht man das er das 1. Baumann Erzählung nur die Argumente die die die Definition sagt immer pro gegebenen Apps war muss es eine 0 geben also wir brauchen als 1. NY nun ja so und was müssen wir erreichen wir müssen erreichen dass Betrag am kleiner als Ärztin ist was ist den Betrag in in dem Fall dass es Betrag von 1 durch n N ist natürliche Zahl also größer gleich 0 ist einzig auch größere gleich 0 dass es den Betrag werden sie mal getrost vergessen also Betrag 1 einfach am so dass soll kleiner ist y sein weil dessen das kleine S y das kriegen wir gerade noch aufgelöst das ist dann der Fall wenn n größer ist als 1 durch Ärzte auf kann wurde beziehen dass er darüber Mode dividieren Sie durchsetzen und auf die andere Seite herüber multipliziert y zurück wir sind ja alle nicht 0 Komma machen wir alle positiv ändert sich kein keine Relations echt so wird steht im Wesentlichen schon da dass wir tun müssen unsere Folge eines betragsmäßig kleiner als Epsilon wenn das n größer ist als 1 durch y was also als 0 zum
Beispiel zum Beispiel könnten sie als er 0 wählen 2. Ich-Erzähler können ja zwar jetzt müssen ist eine schöne Zahl und das gilt jetzt für alle n größer gleich 1 0 der das müssen wir zeigen müssen zeigen betrage
1 kleiner als er zusammengetragen haben überlegt ist einzig in wenn das größer gleich in nun ist 1 1 durch n kleiner gleich 1 durch ein 0 also das einzig in kleiner gleich 1 durch 0 1 1 durch in 0 ist aber Epsilon halte mal n 0 ist wahrlich y 1 durch ein und es dann den Kehrwert also erst mal halbe und es war halt ganz ließ kleiner als Erzähler ja wenn Sie die Zahl halbieren wo sie die Zahl die dann kommt was kleineres raus so also war war es wenn Sie dieses N 0 wählen dann ist für alle n größer gleich 1 0 der Betrag von n kleiner sind das ist Konvergenz das ist 0 frei mehr die gebe es Epsilon für alle in größer gleich und dass der Betrag von 1 kleiner setzen also das wäre eine vollständige Anwendung dieses diese Definition und damit ist in ist sozusagen erklärt was es bedeutet eine Folge wird beliebig kleine Folge geht gegen 0 und auf diese Definition wird fußen alles was in den nächsten Wochen Monaten und eine Prinzip bis fast Ende der Matte 2 machen ich sage nur es wird darauf fußend ich sage nicht dass Sie das ständig brauchen weil und das ist auch klar und das ist das Thema der nächsten Wochen bei der nächsten Stunde diese Definition so er nützlich sie ist hat einen großen Nachteil im konkreten Fall mit der komplizierten Folge ist die nicht nachprüfbar war und deswegen werden wir uns jetzt in den nächsten tagen und der nächsten Vorlesung damit beschäftigen müssen wie finden wir weitere Kriterien für eine Folge dass es nur Folge ist die leichte nachprüfbar sind aber die Referenz bleibt immer diese Definition auf die muss man sich dann immer am Schluss berufen können so noch ein weiteres Beispiel das für die Definition noch
einmal in Aktion sehen also Teil
B wenn meine bisschen kompliziertere die gerade eben war wirklich die einfachstmögliche N durch den Quadrat plus 1 meine Behauptung dass es wieder 0 Folge wie machen wir das genau wie gerade eben wir gucken uns den Betrag von A N 1 und wir suchen den kleiner als Epsilon zu kriegen was ist der Betrag von A 1 das ist der Betrag von endlich im Quadrat plus 1 auch hier gleich Überlegung wie gerade eben der Betrag ist nichts als unnötige Verkomplizierung weil alles was da steht positiv ist der es positiv im Quadrat plus 1 ist dick positiv könnte Betrag also weglassen so und was ich jetzt mache ist folgendes ja was mich interessiert ist ob der Betrag kleiner selbst enorm ist ich muss sie nicht genau habe ich muss sie nur ich muss nur garantieren Betrages klein an und jetzt wird behutsam abgeschätzt sie können diesen Bruch größer machen können um Einbruch größer zu machen es nur 2 Möglichkeiten entweder Sie meine Zähler Größe oder Sie machen denn der kleine in dem Fall entscheiden mich dafür in einer kleiner zu machen diese Bruches auf jeden Fall kleiner gleich in durch im Quadrat weil wenn Sie eine Zahl durch was kleineres dividieren dann wird das ganze Größe war er wird wenn man die Obamas auf weniger Kinder verteilen muss dann kriegt jedes Kind mehr das weiß schon vierjähriges also wenn sie weniger unten haben dann gibt es mehr für jeden so auch das schöne daran ist ist dass wir diese blöde störende 1 los geworden sind und der Ausdruck geht es nicht mehr so schwierig durch Berater seines sich in so und was wir jetzt haben ist im Prinzip gemäß dem Alter der Alten das
eigentliche es über die Mathematiker das neue Problem auf das alte zurückgespielt wir wissen der Betrag von 1 kleiner gleich 1 durch und deswegen behaupte ich comma mit unserm alten N 0 wieder durch also nehmen Sie als N 0 wieder 2 Ärzte an und dann kriegen Sie wieder der gleichen Begründung für oben wie oben wenn Sie jetzt WENN größer als dieses 0 nehmen also gehen die Rangliste weiter nach unten als Zweit-Ich y je nachdem man das setzen unser kleines ist soll es dann sehr groß aber egal wenn sie bei denen ist der nach unten gehen dass 2 durch y dann kriegen Sie Betrag am von dem wissen Sie das ist kleiner gleich 1 durch weil sie in größer gleich 1 0 ist es einzig n kleiner gleich 1 durch ein 0 das ist wieder y halbe und das ist kleiner als er zu bauen die Begründung ist exakt die gleiche und dass sie jetzt wieder haben ist für jedes vorgegebene y
haben Sie jedes N 0 nämlich 2 durch y und für alle in größter gleich in 0 ist der Betrag von 1 kleiner sind und das ist genau das was da steht gut damit haben wir den Begriff dafür was es heißt eine Folge geht gegen 0 1 Folge 0 Folge folge nähert sich der 0 ja noch ein drittes kurzes
Beispiel was ist denn mit der Folge oder nein das Recht mich jetzt nicht durch das gebe ich Ihnen das denke Anstoß mit was es mit der Folge 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Konstanz 0 konstante voll durch es ist 0 folgen dafür ist es Zwischenfrage oder nicht können Sie mal drüber nachdenken wenn das wenn es wenn sie sich nicht einig werden kann ich gerne nächste Vorlesung auflösen er gut
dann haben wollte da der Stürmer von der vollen so ehrlich aus dem Publikum war kam eben wie gesagt schon genau richtig mit der Definition will man eigentlich nicht so viel arbeiten muss mir die ist verlief Formen wenn die Folgen bisschen komplizierter wird und nicht so was Schönes wie in welchen Quadrat plus 1 ist komplett unbrauchbar und was jetzt kommt es ein Aufbau der es einem ermöglicht wir haben komplizierteren Folgen zurecht zu kommen und regeln die er die es erlauben 0 folgen nachzuweisen für kompliziertere folgen wenn man einfache kennt und das ist also das Ganze läuft hier und ich habe das mal Rechenregeln genannt für 0 folgen das ist sind ein paar wesentliche fundamentale
Aussagen über diese 0 voll Begriff das 1. ist das ist eigentlich keine Rechenregel für 0 folgen sondern der Eigenschaft von 0 folgen die aber relativ praktisch ist wenn Sie eine neue Folge haben also wenn Sie wissen ihre Folge Herr für diese Bedingung konvergiert gegen 0 dann ist es immer eine beschränkte Folge es liegt im Wesentlichen daran was bedeutet konvergiert gegen 0 was bedeutet 0 Folge das bedeutet dass ab dem im Abgrund einen Moment ihrer letzte 10 alle Einträge betragsmäßig kleiner gleichen 100. das bedeutet genau 0 Folge für jedes Epsilon gibt es im Moment ab dem alles kleiner gleich 100 100 ist so ist haben sie alle unten sind dergleichen 110 dann bleiben oben wenn nicht viel übrig diese endlich vielen der aber größten und damit ist die Folge beschränkt da weit größer ist diese größte wird kann sie nicht werden wie die 1. 100 der die 1. paar sind nicht größer weil das war der größte und die unten sind er alle klein das ist das was dahinter steckt und was ihnen das geht es sollen 1. in 1. ganz grobes Sieb aber nicht wenn man in der Folge Soft- und Frage ist das Symbol Folge und die Sonne die man beschränkt können Sie sofort zurück werfen und sagen wir Köhler das ist so eine ganz grobe 1. Check so und jetzt kommen 2 Regeln diesen ganz wichtig weil sie es erlauben aus schon bekannten Folgen kompliziertere zusammenzubauen auf diesen Gedankengang wir noch häufige zurückkommen und was das sagte es wenn sie 2 0 Folgen haben A und beenden Sie wissen dass es beides nun Folgen sind also zum Beispiel Beispiel am Beispiel des von der letzten von oben dann können Sie die addieren oder subtrahieren und das kommt ist auch in 0 vor und nicht nur das sie können auch Kunden in den 0 folgen mit einer beliebigen konstanten multiplizieren und was rauskommt ist in eine 0 vor also wenn sie neue Folge 1 haben und mehr reale Zahl C dann ist auch die Folge 10 Mal am nein 0 vor so und was bedeutet das das hört sich der sich banal an ist aber sehr stark weil es ihnen die Möglichkeit geht wenn Sie mal so Bausatz von 5 oder 10 0 Folgen haben davon denn sie wissen es sind welche als einzig in wenn durch ein Quadrat plus 1 kann sich eine andere ausdenken dann können Sie aus diesen einfachen Bausteinen kompliziertere zusammenbauen also was wir schon wissen ist die Folge eines durch ein Plus N durch N plus 1 ist 0 vor ohne dass man nochmal das Epsilon aus der Tasche kramen muss das ist das was hier praktisch ist und wie gesagt solche
Bausatz Gedanken denn jetzt kaufen auch noch häufiger auf so eine Verstärkung von sehen ist das folgende wenn Sie mir 0 Folge haben und der 2. Folge die einfach nur beschränkt ist nur also zum Beispiel 1 unsere Folge als sich allen und CNN im Grunde konstante folgest beschränkt oder Insel ja Sie so was wie N durch N plus 1 das eine beschränkte Folge wenn Sie die beiden addieren was wir nur folgende beschränken Folge addieren dann kommt immer nur 0 voll geraubt so dann kommt Teil E das ist das was wir im Prinzip oben 2. Beispiel
benutzt haben den sich vor der Folge oder wollen sie zeigen dass wir nun Folgendes und andere Folge kennen Sie schon von der wissen Sie das ist nur voll ist nur Folge heißt was nur Folge heißt die Einträge werden den Betrag beliebig kleinen dem beliebig nahe 0 wenn Sie jetzt wissen dass der Betrag von Ihrer und untersuchenden Folge fast überall kleiner als der Betrag von der Folge ist die sie von der sie schon wissen das ist wohl folgendes ist dann würde man ja eigentlich annehmen dass das auch eine 0 Folge sein muss aber wenn wenn die sogar noch kleine sind betragen wie soll sich dann von der 0 weg halten und das ist auch tatsächlich so also wenn sie 0 Folge haben also das am seine Folge von der Sie wissen das ist eine neue Folge ist und das DIN sei in der Folge dieses untersuchen sollen
von der Sie wissen der Betrag vom DIN ist kleiner gleich der Betrag vom AN fast überall nur gut die in Massen den 1. 582 folgen dann passiert ist bei 0 folgen mir egal nur Vollgas wieder selbst dann gibt es eine Stelle in der Liste der ab der gilt was da am Anfang passiert ist vollkommen schnurz so deswegen können wir hier fast überallhin schreiben man Sendefolge haben von der sie wissen Sie es 0 Folge andere dies vom Betrag sogar noch kleiner zumindest ab dem 582. einer dann kann meine Frage oder das war noch eine private Kommunikation ok also wenn sie 0 Folge haben und eine die jetzt noch noch kleinere Einträge hat dann ist die natürlich auch nur 0 folgen also dann ist auch das des N 0 Folge bei mir das die sozusagen zwischen dem einen und der 0 einquetschen kann und schlussendlich F
aber noch den Betrag ins Spiel bringen wenn Sie mal schauen diese Bedingungen 0 Folge zu sein die arbeitet eigentlich gar nicht mit dem in die arbeitet mit dem Betrag von einem das Vorzeichen von dem einen ist der wird Definition vollkommen peppiger alles wird nur der Betrag von ändern geschaut und nicht das am und darauf Fut fußt weinenden Beobachtungen wenn Sie den 0 Folge haben nein dann ist immer auch der Betrag von 1 0 Folge dabei die Definition wenn sie die für den Betrag hinschreiben sieht genau so aus wie die Definition des wenn sie für einen schreiben dementsprechend ist das sogar gleichbedeutend sei es dann sogar die umgekehrte Richtung wenn Äquivalenz das heißt wenn nur Vorgaben sagte betragen nun folgen umgekehrt wenn Sie zeigen können Betrag von 1 0 Folge könnte daraus auch sofort folgern dass dann auch eine 0 ist ja wieder ja da es nochmals gibt die Folge 1 ja also ich ich versuchen wird also bis hin zu gehen und
folgendermaßen zu verstehen also wie es einst war also hier ist n gleich 1
2 3 4 5 6 mehr hier ist das ein auf der Achse das 1 0 Folge also das könnte zum Beispiel so aussehen dieses Mal negativ aber im Wesentlichen geht dieses am nähert sich der 0 an das ist eine zu 0 feige so und das von dem weiß man jetzt das Problem ist natürlich alle diese Bilder sind SchallundRauch
weil ich kann immer nur endlich viele wenn sich viele
voll wieder im Mai unendlich viele folgen Sie das sind für die Konvergenz egal aber Sie endlich vielen stehen jetzt passe pro Toto für das geht so weiter her das DIN könnte folgendermaßen aussehen das könnte hier da liegen und da aber auch irgendwann ist es so dass es betragsmäßig noch näher an der 0 liegt als das am wenn Sie das wissen das DNS immer eingequetscht zwischen dem einen und dem unter 0 dann ist auch die und folgen eigentlich vom weder logisch aber so dass der noch anders sehen aber das DNS erst meine folgen ein nix zu tun das 2 getrennte Paar Stiefel und sie wissen nur das DNS liegt immer zwischen minus 1 und 1 und dann können sie folgen dann ist auch das D 1 0 folgen ja Berti sollte das Produkt stehen habe ich da so geschrieben
ja weil es ist Produkt mit sowohl stimmt nicht
also hier steht wirklich einmal gut noch gerade den
Kommentar den ich zum 11 geben wollte das braucht man meistens von rechts nach links weil es ist sehr oft einfacher zu zeigen dass der Betrag von einer folgende 0 Folge ist einfach weil man sich da nicht um die Vorzeichen kümmern muss der Betrag von allen sie meistens einfach aus wenn man alle Vorzeichen sofort wegfliegen und dann kann man leichte mit den Betrag arbeiten und wichtig ist dann zu wissen bei der Betrag eine neue Folge ist dann auch die Folge selbst dann nur noch ein paar Beispielen sehen so lassen Sie mich 1 2 Dinge davon noch bisschen ausführlicher begründen und gerade kann eine Frage zu die das freut mich ja weil die wollte ich Ihnen kurz zeigen was war denn das ist ein bisschen blöd des war wenn ein beschränkt ist wie wenn
ein 0 folge und sehr eingeschränkt ist das
Produkt auch 0 Folge also schwarze noch mal hin also was wir hier zeigen wollen ist A 1 0 Folge CNN beschränkt ja impliziert dass die Folge am CERN 0 Folge ist schreib mal n f hoffen hallo warum ist das so ab nutzen wir erst mal aus dass diese Folge CNN beschränkt ist nach Definition heißt das war es das heißt es gibt ja eine Konstante c so dass der Betrag von CNN kleiner gleich C ist für alle in aus das ist einfach Definition vom beschränkt der Betrag von CNET beziehen nie raus so was von zeigen wir wollen zeigen die Folge am 10. 0 Folge ja hoffentlich nicht ist er dann hat sich das dann
ja das ist dann nur Sauklaue Gewicht zu also steht über allen ja also das da unten ist immerhin aus allen da habe ich tatsächlich geschrieben um Himmels willen vielen vielen Dank bei Peters sollte aber wirklich über entstehen ja also noch meinen kurz den Folgen sind immer mehr indiziert danke da da ist gut das ist er das ist er ja dabei die Folgen die jeder also diese Zahlen 10 das in der Regel für jedes n ist ihr folgen die der Eintrag in der Liste ist mir jede Zahl aber die dicht die Zeile ihrer in die roten Zahlen ihre unendlich lange Excel-Tabelle die ist natürlich nicht die da zeigen Sie mir mal die Zeile Piñera werde mehr der Index ändern muss natürlich seine muss der ganze Zahl sein so ist es nicht ordentlich lösbar die Einträge dürfen reelle Zahlen sein scho als ich
vor dem begründen warum nur Folge mal beschränkte folgen 0 Folge ist erstmal aus Geschäft das CERN beschränkt ist so was müssen wir tun wir haben Moment da diese paar Rechenregeln und die Definition der aber noch nicht also dem auf die Definition die Rechenregeln beweisen wollen was müssen wir tun wir müssen zeigen Betrag von 1 mal zählen wird beliebig kleine kleiner als Epsilon wenn in groß genug ist also geben wir uns und Erbsen und vor und sie ist wieder da zudem Epsilon 0 zu finden so dass wir alle in die größer als der 0 sind Betrag einmal zählen Kleinheit zu und meine so und was ich jetzt weiter ausnutze ist die Folge eines 0 Folge das heißt zu diesem Epsilon Dietzen N 0 so dass der Betrag von allen kleiner wird als Epsilon durch für eine größer gleich in warum er ein bisschen 0 Folge das bedeutet für jede noch so kleine Zahl größer 0 gibt es eine Stelle in meiner Liste ab der Betrag ein kleiner dass diese Zahl also werden diese Definition statt auf nach Nord Epsilon durch C an die Definition sagt für jede Größe Zahl größer 0 Erbsen und durch C ist größer 0 also geht's aufwärts dann 16 Sonne N 0 zur dass das gilt und dann ich habe es immer schon durch weil was gilt jetzt für alle n größer gleich in 0 dann gilt er einmal zählen im Betrag das ist das das ist noch Betrag Rechenregel Art Betrag Einmalbetrag zählen das am wissen wir ist kleiner als y durch C war bei große welche 0 ist das C 1 kleiner gleich also dann wird Betrag CN übrig das Zählen ist aber immer kleiner gleich 10 also können sie das nach oben abschätzen durchziehen für alle n größer gleich in 0 ist also einmal C kleiner ist y durch 10 mal 10 das kann ein bisschen vereinfachen dass selbst war in dem Sie gezeigt für alle in größer gleich 0 der Betrag von einmal CM kleiner als y und damit haben wir das das 0 vergessen so und dann haben wir noch den Teil von den Satz um der sagte
wenn eine neue Folge ist das ist die Stelle wo das er wirklich stehen darf 1 0 Folge c aus er dann gilt auch das 10 am n aus Ende 0 Folge ist das war der Teil C der ist jetzt
freundlicherweise sofort aus dem die zu ziehen was machen wir denn die haben wir wir in D haben wir gezeigt wenn 7
beschränkte Folge haben und die offene 0
Folge drauf multiplizieren komm wieder 0 Folge raus und mir jetzt einen einfacheren fallen multiplizieren unbezahlt C drauf und das können Sie jetzt sehen nehmen Sie einfach die Folge C die konstant sie ist wir dies insbesondere beschränkt war jede konstante Volkes beschränkt Grund für C N Constant C ist der Teil des genau der Teil 10 also kann man das damit den kriegen wir damit sind sie Teil geschenkt weil der der des Tales in dem Sinne allgemeiner schon auch diese Regel noch mal in der Beispielanwendung also Beispiel eines
9 das ist was wir hier das einzige was ich jetzt für werden in diesem Beispiel ist das wissen aus dem vorherigen Beispiel das die Folge 1 durch also Einzelheiten 3. und 4. 5. und so weiter das das man 0 Folge ist das hatten wir vorhin über die Definition nach das war Beispiel 1 7 8 1 so was können wir jetzt damit anfangen und das ist es soll ihnen auch noch man wissen diese Bau steigen Idee illustrieren diesen jetzt von einer Folge System 0 Folge und dann wir wollen jetzt damit andere Folgen konstruieren die dann auch nur Folgen sind zum Beispiel können sehe denn als 18 der noch oben steht und der sagt Ihnen wenn Sie Ihre Folge einzig er mit einer konstanten multiplizieren kommt wieder nur Folge raus er sie kriegen zum Beispiel die Folge 10 ich das ist die Folge 10 Mal A 1 und A 1 als sich Ende das ist auch eine 0 Folge das wäre eine Beispielanwendung
für diesen C teil mehr wenn man die Detail mal beschränkte Folge also folgende für alle n aus allen ist die folgende Folge also gilt das sehen das von N minus P behaupte ich dass es eine beschränkte folgen Nachweis schätzen Sie den Betrag aber also müssen zeigen sie nur von der Industrie bleibt immer betragsmäßig kleiner als irgendwas ein Trick wie man sowas abschätzen kann ich Ihnen zeigen schreiben Sie das mal künstlicher Sinus von allen plus minus P ja das ist nicht verboten und dann kann man die Dreiecksungleichung anwenden Dreiecksungleichung war Betrag von Summe ist kleiner gleich Summe der Beträge also Sinus von allen plus Betrag von minus P während der Sinus im Betrag der wird nie größer als 1 und der Betrag von minus P ist natürlich P und 1 plus P können Sie jetzt meinetwegen auch mit 1 plus 4 und das ist keine das gleich 5 abschätzen so jetzt wissen Sie diese Folge diese Folge übersteigt betragsmäßig nie den Wert 5 man gut damit es nur beschränkte Folge
also ist die Folge CNN die gegeben ist durch diesen Ausdruck also sehen dass von allen P wenn beschränkte Folge damit können wir unsere Rede von oben ziehen also jetzt 1 8 des
kriegen sie damit die Folge die am einmal sehen ist also die Folge von Sinus N minus P durch den diesen 0 Volk und es kommt jetzt gar nicht auf diese spezielle Beispiel an das ziemlich willkürlich gewählte sondern was das wichtige hieran ist es ihnen zeigen auf diese Weise können Sie aus einfachen Bausteinen kompliziertere folgen zusammenbauen und die behandeln also wenn ich Ihnen die einfach so hin Knall Sinus und das vielleicht n und sagte somit zeigen dass sowohl Folge ist dann tut man sich mit der Definition schon ziemlich schwer und auf die Weise kann man mit diesem Rechenregeln aus ein paar Bekannten Baustein andere zusammenbauen und das ist das wichtige an den gut damit habe ich dort meinen seit die die voll ausgeschöpft ich danke Ihnen für die Aufmerksamkeit und Wort er
Hidden-Markov-Modell
Länge
Punkt
Gewichtete Summe
Näherungswert
Momentenproblem
Summand
Natürliche Zahl
Mathematik
Zählen
Richtung
Gradient
Index
Negative Zahl
Homogenes Polynom
Vorzeichen <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Sinusfunktion
Parametersystem
Positive Zahl
Zahl
Exponent
Primzahl
Dreiecksungleichung
Physikalischer Effekt
Machsches Prinzip
Reihe
Vorzeichen <Mathematik>
Gleitendes Mittel
Zahl
Konstante
Reihe
Summe
Polynom
Betrag <Mathematik>
Rechenbuch
Menge
Ganze Zahl
Mathematikerin
Mathematiker
Bruch <Mathematik>
Unterhaltungsmathematik
Mathematische Größe
Zugbeanspruchung
Folge <Mathematik>
Algebraisches Modell
Gruppenoperation
Gleichmäßige Beschränktheit
Division
Ausdruck <Logik>
Multiplikation
Quadrat
Primzahl
Ungleichung
Reelle Zahl
Äquivalenz
Nullstelle
Eins
Summe
Aussage <Mathematik>
Vorzeichenwechsel
Unendlichkeit
Uniforme Struktur
Quadratzahl
Konferenz Europäischer Statistiker
Explosionswelle
Sturmsche Kette

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Folgen und Nullfolgen
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 13
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35631
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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