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Automatisierte Medienanalyse

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so genau sind die Änderungen der immer so sein dass es verlängert werden an der TU-Darmstadt K so dann
mal wo herzlich willkommen zur heutigen Vorlesung er und diesmal kann ich ganz glatt mit dem neuen Thema anfangen wenn es nicht noch organisatorische Unklarheiten geht also immer die übliche Unklarheit ist ich kann mich noch nicht anmelden dazu ist hoffentlich im Wesentlichen alles gesagt werden immer noch nicht angemeldet ist wie schon mehrfach gesagt morgen und übermorgen einfach in eine Übung wenn mehrere parallele liegen in Räumen Dinar zusammenlegen kann man ja mal gucken welches die damals die weniger überlaufen ist die werden alle wahrscheinlich wirklich voll sein aber wir brauchen das auch um einfach erst mal zu sehen wie die voll eigentlich her insofern die Mörder nicht angemeldet ist auf jeden Fall nicht denken ich dafür sich hingegen auf jeden Fall hingehen auf jeden Fall machen und dann sehen wir auch auch wie groß der weitere Bedarf wirklich ist so ansonsten steige ich heute mit neuen Abschnitt und das ist der genau das fängt mal gut an das ist der Paragraph 3 und der heißt Beweis Methoden da darf jetzt geht es üblicherweise ein Raunen durch den Hörsaal genau es die Kombidosen Mathematiker mit ihren beweisen keine Sorge das halt ich alles relativ klein trotzdem ist der Beweis als solcher natürlich einfach das Grund Rüstzeug eines jeden Mathematikers niemand verlangt von Ihnen nach dieser Vorlesung dass sie den Satz von Fermat beweisen können oder auch andere es aber ich muss will ihn trotzdem die sozusagen in die elementaren Bereiche zeigen was da passiert elementare Techniken ihnen zeigen das 1. leichte Aussagen auch selbst beweisen können aber vor allem also das das ist ein Ziel dieses Abschnitts er das denke oder die werden die denke und dass die Sprache des Mathematikers nahe zu bringen warum natürlich werden sie nicht als Mathematikerin Mathematiker arbeiten aber wenn man dann irgendwann vor einem mathematischen Problemen steht ja man hat irgendwie Modellierung gemacht dass für das eine blöde Differentialgleichung die man nicht lösen kann dann kommt in einem Moment wo man halt in Mathematik gewinnt fragen muss ja und wenn man den dann fragen muss muss man irgendwie eine sprach ist aus man das Problem erklären dazu es ganz gut zu wissen wie Typ und das ist auch ein Ziel dieses Abschnitts in zu zeigen wie ticken also die Mathematiker damit man so ein bisschen die gemeinsame Sprache Jan über gemeinsame Sprachregelung leichter finden kann gut im Wesentlichen wenn ich 3 weiß mit roten Zahlen was heißt beweist weiß eigentlich was müssen wir machen wir die ist ja nicht immer die gleiche Aufgabe sie haben mich Voraussetzung wenn das das angenommen wird dass es richtig ist und dann eine Behauptung und zu zeigen dass wir die Voraussetzung Stimme bestimmt auch die Behauptung dass das Grund er die Grundproblematik und die 1. einfache Idee ist mir das macht man auf direkte Weise der so genannte direkte Beweise in der folgende Form das müssen wir tun ja Voraussetzungen die kann lang und kompliziert sein aber hier für die dann für die Darstellung das sage ich mal dass es einfach irgendeine Aussage A also den außer steckt die Voraussetzung von unserm Satz den wir zeigen wollen drin ich war ich mache gleich Beispiele dann sehen Sie das zur dann haben gesagt meine Behauptung die zu zeigen ist und diese Behauptung Aussage B und was jetzt die Aufgabe ist es zu zeigen wenn gilt dann auch B also und so berühmte Implikation aus erfolgt B und was macht man damit nein machten Beweise uns auf direkte Art und Weise das heißt man nimmt an oder man man setzt voraus eben das Geld der Ar und weil ja Geld was andere das also nur blablabla und so weiter war also kann man immer weitermachen und noch mehr argumentieren und am Ende muss dann darstellen deshalb geht auch die werden ja das ist die klassische das ist eine
so genannte direkter Beweis dass das was man als es am ehesten tun würde dann aus folgen soll da fängt man habe er mit an und versucht die zu finden man am Beispiel ich nenne das mal Satz
3 1 1. Satz im Abschnitt 3 und der sagt wenn Sie mir gerade Funktion haben der Quatsch wie gerade zahlten gerade natürliche Zahl dann ist egal was diese Zahl war das Quadrat auch immer gerade ich gehöre beweise probieren funktioniert ganz gut 2 ist gerade 4 auch 14. gerade 196 auch er aber 30 probieren es keine Beweise weil wer sagt Ihnen dass 2 Millionen 700 und 14 Tausend 200 und 20 das es nicht weil die Zahl das sieht man leicht weißen Boliden auf wird was im Quadrat ist es auch gerade also dafür brauchen wir der allgemeine Betrachtung und auch
nicht besonders schwierig das ist ein ganz geradeaus direkter Beweis also was wissen wir fahren mit dem an was wir wissen Voraussetzung ist gerade was heißt es gerade denn es gerade heißt mehr das hat die 2 als Zeichner das heißt es existierten K aus allen so dass sie das Ende schreiben können es zweimal Krach wenn in gerade ist 1 N ganzzahliges Vielfaches von 2. Definition von geraten zur Zimmermann das gerade
übersetzt das heißt es geht an ein Chaos enden so zwischen der 1 2 K was wissen wir darüber im Quadrat im Quadrat ist dann 2 K Quadrat Potenz Rechenregel dass ist 2 Quadrat K Quadrat also 4 Kartfahrer das können sich das noch mal anders schreiben dass es 2 mal 2 mal krank waren zur und das man wir mal in der also dieses 2 K Quadrat man wenn mal in so warum mache ich das war jetzt haben wir es gibt ein aus allen so dass das Quadrat sie schreiben lässt als zweimal im ab das müsste man kann oder will es in Quadrat geschrieben es zweimal und das heißt im Quadrat ist gewahrt Hmm ganz klassische geradeaus direkt überweisen jetzt mache ich dort so ein komisches qua Drähtchen hin
das ist auch in zumindest in Büchern relativ übliche Kurzform für hier ist der Beweis zu Ende kennen Sie vielleicht unter QED oder sowas mittlerweile ist es gerade recht über üblich aber es ist halt so das ist ein klassischer direkte Beweise nicht will die stoße die Chance hier nutzen eine kurze Moderation einzuführen die wir immer wieder die ich im der Vorlesung von Zeit zu Zeit verwenden werde und die sich auch mal von Zeit zu Zeit irgendwo auf dem im Buch oder so auftaucht das heißt ich wegen dieses Mal gezeigt haben er und zwar ein umgedrehtes E immer der kein kleines Kind dessen es treibt und zum 1. wie das mit Orientierung ich hingekriegt hat so das Ding ist ne eingeführte Nordharz kurz Notation für den Halbsatz ist existiert und die ist relativ praktisch das Ding nennt sich für die Vollständigkeit Existenz Krantor aber im Prinzip da können Sie auch der ganze ganze Theorie zu machen völlig egal für uns können Sie dieses komische E in Zukunft ist einfach immer ersetzen durch die Worte es existiert oder es gibt ein und dann stimmt das warum ist es so praktisch tja und sie weiß um noch mal an da ist kommt diese Formulierung ist existierte das geht schon ein dreimal vor in 3 Zeilen nur und mit dieser kurz können Sie diesen Beweis jetzt in kurz aufschreiben die mache das mal gerade in der anderen Farbe also genau noch mal das gleiche in kurz also wir haben angefangen mit geraten weil eben gerade ist aber gesagt es gibt ein Chaos enden so dass gleich 2 K da er hat dann haben wir gesagt dieses in gleich 2 K setzen damals im Quadrat also es gibt K aus so dass Quadrat gleich 2 K Quadrat ich 4 K Quadrat gleich zweimal 2 K vereinbart gleich 2 die und dann kommt der letzte Schritt da steht es gibt ein aus allen so dass im Quadrat gleich 2 also ist ein Quadrat gerade das ist genau das Gleiche in furchtbarer Formel Wüste Kern er es wird dadurch ein bisschen kürzer es wird das vielleicht aber auch viel unübersichtlicher ja ich wollte ihm beides mal gezeigt haben und vor einem Trugschluss waren das ist irgendwie immer wieder zu so konnten Teile von Leuten aus der Schule hier mit der Meinung Mathematik ist nur das blaue bei den Mathematik muss so kompliziert aussehen sonst ist das die half oder nicht richtig wäre das können Sie bitte gleich wieder vergessen das Schwarze ist wunderbar schön ein mathematischer Beweis und das kann man gut lesen und das glaube es wenn es knapp und kurz sein muss und man ein 1 1 mehr das seit Limitierung für seinen Artikel hatte man schreibt er benutzt man gern das blaue damit man halte seit Limitierung einlässt einhält aber das ist mühsamer zulässt dort also ich man beides zeigen Ich heiße Städte stehen auch gern frei beides zu benutzen mehr oder weniger mal das eine mal das andere aber machen Sie sich kein schlechtes Gewissen wenn sie die schwarze Variante wählen die schwarze Variante ist wunderbare Mathematik so jetzt war dass der
direkte Wahl ist man einen direkten Beweis
gibt dann muss irgendwo noch die indirekte Beweise
nach zeigen der kommt jetzt mehr
tja denn also 2. indirekter Beweis das sondern denn jetzt noch anders machen da fragt man sich schon dann müssen wir wie von Voraussetzung an zu Behauptung B also die gerade wenn gerade wenn es im Quadrat gerade in Qualen gerade war die Voraussetzung im Quadrat gerade weil die Behauptung und da muss man halt argumentieren ankomme den raus ja und jetzt müssen sie sich an was er erinnern was ich ihr letztes Mal erzählt habe wenn ich so er Indikation habe aber daraus folgt B dann ist das das selbe wie die Kontraposition aus nicht befolgt nicht ich hatte sie da vorgewarnt den Umkehrschluss ziehen dann die Kontraposition ist okay also wenn sie aus nicht erfolgt nicht haben L dann haben Sie auch aus erfolgt B das ist eine der Grundlagen es indirekten Beweises zu der so ein bisschen modifiziert was man üblicherweise macht ist man geht davon aus die Voraussetzung stimmte das ist ja immer grundsätzlich wenn das bei sowie brauste zustimmen und dann nimmt man an die Behauptung ist falsch ja mir geht davon aus stimme zu aber die Behauptung stimmt nicht und dann muss man dieses Konglomerat dazu führen dass es ein Widerspruch für zeigen das kann nicht sein gleichzeitig Voraussetzung ja und Behauptung falsch die ich und das ist der sogenannte weiß sich Widerspruch oder die indirekte Beweise und wenn sie so weit sind dass Voraussetzung gilt und Behauptung geht nicht zum Widerspruch geführt ist na dann wissen Sie entweder war die Voraussetzung falls so die Behauptung gilt Voraussetzung ist nicht falsch weil sie die Voraussetzung ist also geht überhaupt gut so war wie sie diese indirekte Beweise allgemein aus diese Sie hören schon an diesem ganzen Verdrehungen diese indirekte Beweis des oft ein bisschen von hinten durch die Brust ins Auge aber es gibt viele viele Dinge nicht zeigen gleich 2 Beispiele oder indirekte Beweise sehr nachvollziehbar und klar ist und das sehr sehr froh wäre ist direkte Beweise zu führen also das ist mir durchaus eine Freiheit die man braucht und der mit dem man gut arbeiten kann also das die Grund Gemengelage ist wieder die Gleiche der MdE Voraussetzungen der Behauptung Voraussetzung fassen denn der Aussage A zusammen also bei dem Beispiel von vorhin es gerade Behauptungen die Aussage B im Beispiel von vorhin im Quadrat das gerade
so ist dann Beweise führen und so und Widerspruchsbeweis der sieht allgemein so AUS gut ist dies immer so wenn Sie in deren Namen meist Geld da Voraussetzung gilt so und dann kommt ist diese Annahme sind ich gerade gesagt habe man geht davon aus die darauf Voraussetzung gilt und nimmt jetzt zusätzlich an die Behauptung wäre falsch also angenommen B ist falsch soll sein werden es heißt es PIN war es ja so und dann fängt man wieder an zu argumentieren wer da kommt und keine weiß darum dann gilt und blabla und das Heil und so weiter argumentier argumentiere und am Ende muss ich jetzt ein Widerspruch ergeben das steht jetzt einfach mal so da was ist ein Widerspruch eine am Ende muss eine Aussage stehen die evident und immer falsch ist also zum Beispiel schöne Widerspruch 1 gleich 0 der eine wunderbare Widerspruch also Sie rauskriegen wenn er die Voraussetzung gilt und B ist falsch weil es als gleich 0 dann ist das ein wunderbarer Widerspruch aber sie noch viele andere sehen auf jeden Fall muss etwas auskommen was evident falsch ist wir und also war die Annahme falsch wäre es sie gibt sich Widerspruch also war die Annahme falsch und es gibt B und und damit haben sie und wie es war und damit sind sie durch so das ist die Grundkonstruktion vom Widerspruchsbeweis und auch da habe ich Ihnen Beispiele mit und das ist jetzt der Service zum Beispiel wo ich glaube ist sehr sehr schwer ist indirekten Beweis anzugeben also mir fällt keiner ein also da ist glaube ich das
mühsam und die Behauptung die ich ihn
habe viel mit jetzt hier als Satz 3 3 es die Behauptung der pythagoräischen Katastrophe völlig der zwar schon gesagt gleich nämlich Mazda 2 ist irrational das heißt musste 2 ist kein Element der rationalen Zahlen warum Peter welche Katastrophe kurzer Ausflug in die Geschichte die Pythagoras kennen Sie wahrscheinlich alle von Sandra Eckert er war ja was war der eigentlich Mathematiker Philosoph Sektenführer oder alles in einem im alten Griechenland genau gesagt auf Sizilien was damals zu Griechenland gehörte und Arzt im Wesentlichen ja der Mathematik Sekte geführt sozusagen eine von Leuten die den Grund Glaubenssatz war alles ist Zahl die gesamte Welt lässt sich durch Zahlen beschreiben und zahlen dies für die Griechen ganze Zahlen und Verhältnisse von ganzen Zahlen ja also die gleichen kannten nur die rationalen eigentlich und deren Glaubensgrundsatz war alles lässt sich durch Zahlen beschreiben und dazu passte zum Beispiel wunderbar dass Pythagoras entdeckt hat das wohlklingende Musik Akkorde sich dadurch auszeichnen dass die Frequenzen der einzelnen Töne in sehr kleinen ganzzahligen Verhältnis zu lange stehen lassen Oktave ist die doppelte Frequenz also 2 Töne Notar was man das Internet hatte einen Doppelsieg wenn zum andern dass das Verhältnis der Frequenz 1 2 sehr kleinteiliges Verhältnis und wenn sie der 2 Töne mit Frequenzen die sich wie 13 zu 17 unterscheiden mit zusammen lassen wenn alle aus dem Raum und das fand dafür die Tage ein Zeichen dafür dass der Kosmos nach Zahlen sortiert ist es gut ist und dann haben sie auch ihre berühmten Dreiecke betrachtet und Dmitry betrieben damals auch wichtige Mathematik Bestandteil und haben sich damit das eigene Grab der eigenen Ideen geschaufelt weiter Satz des Pythagoras enthält die Karte in keinem alles Übels na man einen 3 gleich sei ein ein prächtiges 3 mit kantigen Länge 1 und 1 und dann versuche mal rauszukriegen wie lange über den ist und die es im Dorfe 2 Namen und die haben damals sehr viel Mathematik betrieben wenn Mathematik wird die erste der Wissenschaften für Pythagoras in seiner in seiner Denkweise nein der Philosophie und einer seiner Schüler fand dann immer raus was ich ihn jetzt gleich vor für das ist ein alter beweist dass stammt von den Griechen diese Zahl diese Diagonale ist nicht als Bruch des Länge gesehen da es nicht als Bruch darstellbar nein sie mit sich erst nach geworfen was man halt so der Sekte macht wenn jemand wir das hat mir die Sache nicht so richtig gelöst haben sondern sie haben sich sozusagen die satte Versammlung hat also die die ganze Sache hat sich dann relativ bald aufgelöst da aber also hat sich gespalten in verschiedene Anhängergruppen aber deswegen sage ich hier wieder welche Katastrophe dazu er war man sich eben an der Stelle selbst zerlegt hat gut also müssen wir wenn ich das beweisen und das ist ein klassischer Fall von Widerspruchsbeweis also wenn Sie das versuchen direkt zu zeigen muss 2 ist keine rationale Zahl das fängt schon damit an Was heißt ist keine rationale Zahl ich habe mir das hin ist nicht als Bruch darstellbar was mache ich damit ja also solche Aussagen gehört nicht zu irgendwas zwischen immer gute Kandidaten für indirekte Beweise das würde der indirekte Beweise für der Annahme er fordern wir müssen für den weißt ich Widerspruch annehmen die Behauptung ist falsch also wenn nebenan Wurzel 2 wäre eine rationale Zahl damit kann man aber nicht aber dass wir man an was es heißt irrationale Zahl was heißt das das heißt Wurzel 2 Isenbruch also existieren ganze Zahlen n und in dem Fall sind natürliche Zahl und 2 ist positiv so dass die Wurzel 2 als N durch N beschreiben können mehr und was sie auch gleich noch mit fordern können ist das dieser Bruch n durch m maximal gekürzt ist ja weil wir nämlich maximal gekürzt ist dann setzte sie sich halt und 14. hier Jeroch Woche lässt sich runter kürzen auf einen Moment wo sie nicht mehr weiter kurzen können und diese Zahlen L und M neben der Name sagt gut also wusste 2 das ist n durch m und n und m sind so
dass sie nicht mehr kürzen kann was heißt das jetzt weiter jetzt schauen uns mal nicht die Wurzel 2 sondern die hat die harmlose 2 an 2 ist natürlich nur 2 Quadrate ist gerade Definition von Wurzel 2 also mir die Wurzel 2 Quadrieren kommt da 2 heraus das ist natürlich noch unsere Annahme im Quadrat durch im Quadrat also wenn der Mann mit im Quadrat hoch multiplizieren in kann ja nicht nur sein wenn im 0 werden wird ist es keine Arzt seine Zahl beschlossen wozu essen rationale Zahl also muss es und geben das nicht nur ist den kriegen wir 2 im Quadrat ist im Quadrat das gut das ist mal das wirklich mit dem Sternchen das kommen wir noch mal aber was wir daraus schon mal ziehen können ist das N gerade ist ja aber im Quadrat ist zweimal im Quadrat insbesondere ist damit in Quadrate gerade Zahl so jetzt behaupte ich und das ist jetzt wenn Sie so wollen die kleine Lücke oder Übungsaufgaben das dürfen Sie sich überlegen dann muss auch n gerade sein er das ist mir aus die kann man sowohl direkt als auch kein Widerspruch zeigen es also gute Übung für die Sache also was wir vorhin gezeigt haben waren gerade ist im Quadrat gerade was Sie hier brauche ich die Umkehrung im Quadratgrad ist doch in Gefahr zurück also da muss auch den gerade sein die schreib doch mal mehr warum dahinter können Sie sich mal
überlegen also meinen die einfachste Methode sich zu überlegen mit gerade mal gerade ist gerade und ungerade morgen reise ungerade und gerade mal um 1 das gerade und so weiter und alle Fälle durch geht sieht man es auch gut also in das gerade das heißt das schreibe um ein kurzes geben K aus allen so dass gleich 2 K ist also haben jetzt gezeigt werden wenn wir unsere wozu 2 als Umbruch durch schreiben können dann muss das N dabei immer gerade sein geht 1 gut also ist das Ende gleich 2 Kammern und jetzt nehmen Sie dieses gleich 2 K und setzen dass man jeden Stern ein also unsere Gleichung Stern liefert jetzt war es wie wird jetzt das 2 im Quadrat das gleiche ist wie nach Stern im Quadrat und das ist 2 K Quadrat also 4 K Quadrat daraus können Sie jetzt mit 2 kürzen dann haben Sie im Quadrat ist 2 Kajakfahrer und jetzt sieht man schon so wie sie die Katastrophe der Mann im Quadrat ist damit gerade der im Quadrat ist wieder 2 mal was zweimal natürliche Zahl das eine gerade Zahl so und gleiches Thema wie oben ist jetzt gerade das ist die gleiche Argumentation die oben auch fehlt wenn sie nicht gerade Quadratzahl haben dann muss dass die Zahl die sich verirrt haben auch gerade sein so was haben jetzt jetzt haben wir wenn wir unsere Wurzel 2 als Bruch darstellen können da muss sowohl der Zelle wieder Männer gerade sein im Moment mal aber die war doch maximal gekürzt also müsse die 2 wir vergessen noch aus kürzen ok also immer neues und Moment herausgekürzt aber dann ist wieder gerade im wieder gerade also muss es weiß nur dann als Bruch darstellbar wenn sowohl im In- wie auch im unendlich viele Faktoren 2 vorkommen da wird nix also was rauskriegen hier ein
Widerspruch dazu das N durch
N maximal gekürzt ist ab aber man weiß dass das geht ja man kann jede Woche maximal kürzen und dementsprechend hier was schief und die einzige Möglichkeit aus diesen aus diesem Dilemma aus diesem Widerspruch raus zu kommen und das hat in dieser arme Schüler von Tage was auch irgendwann geklappt erkannt hat kann sich vorstellen dass er sich bis in den Überlegtheit wir das dem Chef des weil die er diese Annahme dass
man das es die mir endlich das in dem raus
zu kommen ist die Annahme fallen zu lassen wozu 2 der rational und zu sagen das muss falsch gewesen sein also dass die Annahme falsch und Würze 2 ist eben keine rationale Zahl so das ist der klassische du weißt aus alten Tagen das Wort 2 nicht rationales und lustvoll das einfacher Heiterkeit aus sagen gut und es ein ich habe sie mir gebracht als Beispiel für einen indirekten Beweis und wie gesagt versuchen Sie gern mal das direkt zu beweisen dass der ich mir sehr schwer vor gut das war Beweis mit halt Nummer 2 und jetzt kommt Nummer 3 und das
ist was was unter Umständen der ein oder andere der eine oder die andere in der Schule schon gesehen hat mich vollständige Induktion mal so einfach fürs Meinungs- und Stimmungsbild wer hat vollständigen Option schon mal gesehen okay ja das ist ungefähr wie bei den komplexen Zahlen so gut für alle anderen kommt es ist also hier und das ist jetzt also die beiden 1. die ich Ihnen gezeigt hat die beiden 1. Beweisverfahren diesen sozusagen universell wann immer Sie eine Implikation zeigen sollen kann man die beide Verbänden und die Frage ist immer nur welches das probiere ich zuerst mit feuchten Emotion ist besonders spezieller dass das funktioniert nicht für jede Behauptung sondern für den Sinn der Familie von aus von Behauptungen haben die für alle natürlichen Zahlen gelten soll also die denn die Behauptung muss eine spezielle Form haben sie am 1. wieder die Voraussetzungen also es ist es wieder die allgemeine vor mir allgemeine Form soll es Induktions- Beweises sehr natürlich Voraussetzungen das ändert sich nicht das ist eine Aussage aber jetzt die Behauptung musste mit ductions beweist machen könne ganz spezielle Form haben und zwar muss die die Frauen haben für alle natürlichen Zahlen gilt irdene Aussage und diese Aussage kann natürlich jetzt von in ab also eine möglich Behauptung findet Jones Beweiswert alle natürlichen Zahlen sind gerade ich hoffe nicht dass jemand das beweisen kann weil es offensichtlich so richtig dies aber es wäre vernünftiger Aussage finde für Induktion immer brauchte Aussage über alle natürlichen Zahlen für alle natürlichen Zahlen ist 2 n gerade könnte man zum Beispiel sehr gut also könnte man genug zum Beweise so und wie macht man das jetzt Solutions Beweise hat den großen Vorteil dass er sehr klar
und strukturiert ist ein klares Kochrezept hat der zerfällt in 3 Schritte also dass das Problem an dem wenn überhaupt und natürlich ist das irgendwas für alle natürlichen Zahlen zeigen und es gibt ziemlich viele davon das heißt alle ausprobieren dauert zu lange und was wir uns jetzt zunutze machen ist dass die natürlichen Zahlen sich so schön eine nach der andern abzählen lassen und dass sie einen Anfang haben also dem was man zuerst macht ist wie gesagt alle das für alle zu zeigen einzeln diese wenn mühsam aber was normalerweise ganz gut geht ist für die allererste geeinigt also was man Induktions- Anfang macht man hat natürlich immer dass die Voraussetzungen gelten also es gelte er und was man jetzt zeigen muss ist die von 1 gilt ja sein dass man jetzt wieder mir weismachen irgendwie direkt oder was brauche ich aber das geht meistens schnell und dann muss am Ende stehen also gut zumindest wenn ich 1 Einsätze stimmt die Sache nun also die B von 1 so und was man damit macht es war und das wird sich erst mal nach dem Bauernkrieg an aber es funktioniert und was man jetzt zeigt ist als man selbst jetzt erstmals zusätzlich voraus einfach aus der hohlen Hand das für ein n aus entführten 1 b von Ihnen schon alles bekannt als war bekannt ist also für irgendetwas Geld gilt die Aussage des von ihm das wissen mir eigentlich also es ist schon für 1 für eine nicht mal diese waren aus wissen das was man da noch machen muss denn das ist der sogenannte Induktionsschluss was man jetzt noch machen muss ist zu zeigen also jetzt wissen wir nach unserer zusätzlichen frechen Voraussetzung dass nicht nur an sondern auch die von was man gleich wieder konkret für
alle die das jetzt viel zu abstrakt finden habe ich des einmal allgemein da stehen haben so und was man zeigen muss es also ist und so weiter und ob wieder argumentieren und was man zeigen muss wenn B von allen war es dann ist auch B von in plus 1 war so also was muss man tun muss zeigen für 1 tut in gleich 1 es wahr und da muss man noch zeigen wenn es für irgendein n gilt dann auch für den nächsten und was dann passiert ist das Prinzip der Domino Schlange das ist das Induktion gewann sie den besten einer Schlange vorstellen was wollen Sie zeigen sie wollen zeigen für jede natürliche Zahl geht Ihre Aussage und dass die außer geht wird dadurch kann er gerade so sehr dass du Dominostein Umfeld also die ab dass die Aussage für n gleich 317 gilt der dadurch charakterisiert dass der 317. Dominostein Umfeld und sie haben also jetzt die natürlichen Zahlen als eine unendlich lange Domino Schlange da stehen 1 dem andern und was sagen jetzt die beiden Dieter Teile von der Induktion der 1. der Options Anfang sagt irgendjemand 7. Domino Schlange an also der 1. Steinfeld um Klumpp und und Voraussetzungen Schluss sagen dass der im Plus 1. steigen so hinter dem Ende steht das wenn der Ente fällt auch der Einfluss 1. fällt so und jetzt wenn Sie das haben sie fertig weil sie wissen der 1. fällt sie wissen der 2. steht sollen dem 1. dass wenn der 1. fällt wird auch der zweite der dritte steht sollen den 2. dass meine zweite fällt wird auch der 3. und auf die Weise rasch die ganze Domino Schlange von 1 bis nimmerwiedersehen weg das ist die Idee von dort sonst bereist und das schöne daran ist sehr haben dieses Problem alle natürlichen Zahlen ausprobieren zu müssen was sie nicht lösen können ähnliche Zeit auf 2 Dinge reduziert müssen die 1. ausprobieren das kriegen wir hin und sie müssen nachweisen dass die nur Schlange korrekt steht ja ist das nicht wie ein paar Dominosteine sind und die demnächst werden sondern das immer der Entschluss 1. ordentliche ja das ist das Prinzip der Induktion er genau um vor ich Ihnen jetzt ein Beispiel dazu zeige bin ich an der Stelle noch eine zweite kurz Notation einführen so ähnlich wie der Existenz Quantoren von vorhin nur Station aber Sie erinnern sich an dieses komische falsch geschrieben die Idee dass da hieß es existiert und andere Formulierung die der Mathematik sehr oft vorkommen dass das was man hier oben noch sieht für alle ein aus und auch dafür gibt es eine kurze Notation und die ist er an da die dann gebe ich auch nicht schreiben gelernt und auf dem Kopf stehendes immerhin Kopf an steht für die Worte für alle also wenn in das man irgendwo unterkommt ersetzen Sie dieses einfach überreife durch für alle und dann müsste der Satz den Sinn geben und das Ding heißt Allquantor period also hier oben hätte man zum Beispiel schreiben können nur für alle n aus Geld b von mehr das wäre eine Verwendung dieses Zeichen Sa das nur weil es an der Stelle so gut passt bei der Mann für
alle stand habe mehr zur gut und jetzt
wollt ich Ihnen Beispiel eine von Induktion zeigen und das ist schon wieder so ein Beispiel wusste schöne Anekdote dazu gibt es
war das ist der Satz 3 5 Satz 3 5 und was ich zeigen will ist das folgende also für alle natürlichen Zahlen n aus N Geld das folgende wenn sie aber wenn Sie mal anfangen zu rechnen 1 plus 2 plus 3 und so weiter plus 27 plus 28 bis halt was weiß ich bis 572 ja dann ist das ein relativ mühsame Angelegenheit und ich kann Ihnen dafür eine fertige Formen liefern das ist n x n plus 1 halte diese Formel nennt sich auch gaußsche Summenformel warum nicht weigere aus die als große Entdeckungen also gar aus meiner deutschen Mathematiker nach den sehr sehr viel benannt ist das heißt so weil das Anekdote von dem was Schüler gibt nur der Dorfschullehrer oder sein Lehrer auf jeden Fall mal keinen Bock auf Unterricht hatte und ich wieder beschäftigen wollte und ihnen gesagt hat sie sollen doch mal die Zahlen von 1 bis 100 1 zusammenzählen an der gute Klaus neben den Unterricht saß und gedacht hat so was du würdest mit Pilzen bisschen nachgedacht hat und nach 3 Minuten der Lösung zum Lehrer gegangen ist weil halt nicht angefangen hat 1 plus 2 bis 3 plus 4 plus 5 zu rechnen sondern er auf die schlaue Idee gekommen ist nämlich 1 plus 99 plus 2 bis 98 plus 3 plus 97 das gibt 96 und so weiter er und das muss denn der wohl ziemlich genervt haben bei der wollte ein Buch lesen und die Jahr danach heißt es eben so gut aber das ist ein ganz wunderschönes Beispiel
um meine Induktion vorzuführen als es beweisen mit Induktion das kann man auch direkt oder sonstige weisen aber es ist schönes Beispiel für Induktion dessen Aussage die für alle natürlichen Zahlen steht mir also das da hinten diese Gleichung das unser Bild von und überhaupt ist wie jede natürliche Zahl gilt die Gleichheit dieser beiden ausdrückt also was bei Induktion müssen 2 Dinge zeigen müssen zeigen wie man wirft den 1. Dominostein um Induktions- Anfang und wir müssen zeigen jeweils der nächste Dominostein steht vor dem vorhergehenden so dass man eine fällt fällt andere auch also die 3 Schritte von vorhin das 1. war der Induktion anfangen also müssen die ganze Sache für n gleich 1 angucken tja der für ihn gleich 1 ist zum Glück die gleichen die da oben steht relativ einfach also jetzt zählen alle Zahlen zusammen die zwischen 1 und 1 liegen klappt das prima Lindas ist 1 und was sie doch der rechten Seite da steht in gleich 1 also 1 x 1 plus 1 halten und wenn sich der Rauch verzieht steht 2 durch 2 und das S 1 also für n gleich 1 ist das alles gut meistens ist der ductions Anfang sehr einfach gut jetzt 2. den Induktion Voraussetzung was war das also wir gehen davon aus für irgendein N aus allen gelte das da oben also gelte wenn ich die Zahlen von 1 ist zusammenzähle dann gilt in mein plus 1 so ja also er zu Bürger
Stelle was den Ozon voraus dass sie nicht sagt ist dass das für alle in geht ja dann wenn das das wir zeigen wollen dass das dann damit fertig sondern es gibt 1 1 was wir zeigen müssen ist mir relative sagen wenn der Ente Dominostein fällt also wenn diese Aussage gilt dann fällt auch der Einfluss 1. Dominostein also müssen Induktionsschritt machen von N nach endlos 1 also wenn der Entschluss Ente Dominostein fällt dann auch dem Fluss 1. wenn die Aussage für n gilt dann auch für ein plus 1 also was müssen wir machen wir wissen der Option Aussetzung der für n gleich 1 für für n gilt die Aussage müssen sich für endlos plus 1 zeigen also fahren wir doch mal an zu summieren 1 plus 2 bloß enden plus 1 plus 1 war dass das was ausrechnen wollen der was ist das hier was ist das hier Rechnung das Ziel ist dass da steht bleiben schauen Sie sich nur mal an dass die Formel und setzt oft oberen sei dass das Wasser zeigen wollen und da muss jetzt diese vorne rauskommen wenn sie durch im Plus 1 ersetzt also es muss rauskommen das ganze hier ist gleich N plus 1 mein Entschluss 1 plus 1 also in plus 2 alle 5 das ist das Ziel
Sarah also was ist also 1 plus 2 und so weiter Plus plus 1 plus 1 das ist nach Induktionsherd Aussetzung das hier kennen wir neigen dazu uns Voraussetzung die Summe von 1 bis n ist Induktion Voraussetzung in meinem plus 1 halte gehen davon aus der Ente Dominostein fällt also die außerdem gilt für n also ist das dasselbe sondern bleibt noch Plus im Plus 1 übrig das können Sie offen Hauptnenner bringen dass es immer plus 1 halbe plus 2 mal 1 plus 1 halbe also
10. schon auf einen Bruchstrich geschrieben in plus 2 mein 1 halbe wenn Sie das mit dem Ziel vergleichen stellen wir fest das ist das selbe ist wenn man noch bedenkt dass plus 1 2 Einfluss 2. dasselbe ist wie plus 2 mal 1 plus 1 also sind wir hier fertig gut ja so und was passiert jetzt Induktion gehört beweist fertig hat damit gezeigt die Aussage gilt für n gleich 1 das war Banalität und dann gezeigt wenn sie Vereins gilt dies auch für 2 und wenn sie für 2 geht es auf 3 3 geht es für 4 und 5 wenn sie für Pflege geht für 5 ad infinitum oder mit gilt sie für alle natürlichen Zahl so das ist ein Beispiel für Induktion der und ich will jetzt bevor ich noch aber bitte ja befeuchten nach kommt noch kommt noch ein weiteres Beispiel zu Induktion aber der Sterne welche zum kurzen Exkurs starten und zwar möchte ich wegkommen von dieser hier zwar sehr anschaulichen aber schreibt technisch unbefriedigenden außerdem schlecht zu gebrauchen der Schreibweisen diesen Pünktchen für so lange suchen das hat der mir geschrieben Einfluss 2 plus Pfännchen Filmtyp lynchen plus allen und jeder weiß was gemeint ist da aber mit diesem Pünktchen kann man auf Dauer nicht gut arbeiten und da gibt's eine sehr hilfreiche Notation für die
mächtig in Kürze einführen das ist die so genannte Summe Notation auch das kann sein dass der die einen dann das schon gesehen haben also die Summe Notation wenn diese diese Beweise jetzt gerade eben war voll von Pünktchen Pünktchen Pünktchen die schnell No keine tja zur und was macht man wenn man möchte zahlen aufaddieren im oberen Fall was 1 plus 2 plus 3 und so weiter plus N aber wie gehen wir davon aus dem einfach reelle Zahlen nennen A 1 A 2 A 3 A 4 und so weiter es ist Beispiel oben
dem A 1 7 1 1 2 2 8 3 3 a 4 4 und so weiter und dann hatten wir jetzt gerade eben geschrieben eben 1 plus 2 plus und so weiter bis plus allen also 1 plus 1 2 plus am das kann natürlich so hinschreiben jeder weiß was gemeint ist und trotzdem gibt es dafür mit kurzen Notation und zwar schreibt man Folgendes diese komischen Haken hier das noch nicht gesehen hat das ist jetzt doch zurzeit wenn man häufig im Fernsehen griechisches großes Sigma also groß ist es im griechischen Alphabet es warum es es für Summe hier wird summiert es für Sommer das in großes Fest und das große griechische es hat den großen Vorteil dass es oben unten diese schönen langen Balken hatte oder die kann man was dran schreiben und was man da tut es man sagt wir summieren von J gleich 1 bis n Weber H I J und das ist das was da steht und was dieses Zeichen bedeutet ist wenn jemand schon mal eine Schleife programmiert hat auf dem Rechner in der Programmiersprache ganz einfach ansonsten was das Zeichen bedeutet Sätze zu zuerst obgleich 1 A 1 zu mir das tut denn mit der nehme den Ausdruck dahinter wenn ja gleich 2 ist und wie es dazu in den Ausdruck dahinter wenn dort gleich 3 ist wie das dazu so mir immer weiter auf bis dort n ist dann kommt raus A 1 plus 1 2 plus und so weiter bis plus 1 Sarah also Beispiel mit dem was wir gerade hatten Beispiele 3 7
also die Summe die wir gerade hatten bei der Gaußschen Summenformel war das da die können Sie problemlos in dieser Notation so schreiben Summe J gleich 1 bis über IoT mehr 40 obgleich 1 führt dort gleich 2 addiere der zusätzlich auf gleich 3 D oder 2 jetzt wirklich 4 als ihre Zuges obgleich er also wie gesagt ist nur programmiert hat freut obgleich 1 bis n zu mehr J dazu mehr und wir wissen jetzt seit den Satz oben diesen Ausdruck hier können wir ausrechnen des Ende 1 plus 1 halt genau andere Beispiele sie können alles mögliche um summieren sie muss manchmal bei 1 anfragen also zum Beispiel die ist folgendes Symbol zu lesen J gleich 3 bis 7 über J Quadrat genau wie gerade eben selbst erst J gleich 3 also 3 Quadrant dann ihr gleich 4 4 Quadrat plus 5 Quadrat plus 6 Grad plus 7 Quadern was das ist deren selber ausrechnen ja aber das ist oder noch
ein Beispiel ganz kurze Summe K gleich 1 bis 2 1 durch K ist was erst K gleich 1 also 1 durch 1 setzte dann AK gleich 2 Haltung bitte kann nichts weiß schon Ende na gut das Trio in das ist 3 1 da aber was wichtig ist dass dieses Symbol eben solche Summen kodifiziert er was ihr auch sehen ist ob sie jetzt über und man diesen ob der Buchstabe diese sowie j oder k oder L oder Zepter oder meinetwegen können sämtliche stellt im chinesisches Symbol dem oder ob der Elefant heißt es total wurscht das hat einfach mit sehr variable die ihnen die Summation hoch zählt ich jetzt J und habe gesagt sie können auch Kringel Blümchen man völlig wurscht er das ist die eine Bemerkung und die andere Bemerkung ist davon ausgehen es gibt jetzt immer gut Leute das schon kennen ein paar Leute die sagen wir komisches Konzert aber gucke ich mir man ein paar Leute die sich sagen jetzt war ich noch was hatte gegen Pünktchen schreibt weiter Pünktchen nein schreiben Sie bitte nicht weiter Pünktchen er dieses diese Notation mag auf den 1. Blick seltsam und verstörend sein und sie sehr sehr stark und bringt ihnen also macht viele Dinge den Theken übersichtlicher dass man sie noch behandeln kann muss Pünktchen nicht mehr geht also die dringende bitte also dazu gibt's auch über Material jetzt irgendwie auf den Übungsblättern und so weiter beschäftigen Sie sich wenn Sie das nicht kennen mit diesen Symbolen und verwenden Sie es der und da wahnsinnig an sich darum zu mogeln sie können sich wahrscheinlich problemlos noch 5 Wochen und das auch noch 3 Monate und das Symbol Bogen und dann kriegen Sie irgendwas Spesen 3. Semester dem Moment wo sie es machen müssen spät dass es man es sich schlimmer ist weil es ist die Zeit dafür ist dafür gedacht und später müssen sie es irgendwie nicht mehr machen also nicht der fortrücken macht so war wie gesagt ich nehme auch an
einige haben das schon gesehen habe meistens sind eben immer Leute dabei ja das ist neu das ist ungewohnt und Sie werden feststellen sich darein zu fuchsen lohnt sich genauso wie endlich die 2 Finger Suchsystem zur Seite zu legen und mal 10 Finger zu tippen aber wenn man das einmal kann man es nicht mehr missen gut was ich Ihnen jetzt noch dazu geben kann als als Starthilfe müssen Stabe Rechenregel und dann kann ich ihn auch schon zeigen warum diese sobald diese Summation Notation so stark ist man wenn man so neues Symbol hat so neuen Kalkül dann lohnt es immer sich zu überlegen was darf ich mit dem und was darf ich mit den nicht was sind die Rechenregeln und da habe ich jetzt ein paar zusammengesammelt also wir haben n aus ist will die Länge der Summe und dann bezahlen lieber aufaddieren A 1 A 2 bis A N wie vorhin und dann habe ich noch ein 2. Summe nach in petto wollen noch B 1 bis B N das Unendliche reellen Zahlen sich er dienen will lange Zeit C brauche ich nur also ganz viele Zahlen über die wollen und das 1. was ich Ihnen zeigen wie der
gut dieses zum Zeichen der beschreibt Summen Summen von zahlen das kann man mit Summen von Zahlen machen wenn man kann die ganze Summe die ganze lange so Mini-Klammern setzen und mit was an multiplizieren und dann habe man das aus multiplizieren ausklammern aus Mode beziehen ausklammern ist schon ein Thema wo sie gleich sehen werden wie wunderbar einfach das zum Zeichen ist gegenüber der der hatte der Pünktchen Pünktchen Array also nie multipliziert nach multipliziert man aus und klammert aus mit sehen das man aus multipliziere Zar ja ja zwar wie macht man das mit dem Sonnenzeichen das ist ganz einfach also während im Sonne gleich 1 bis in über Überacker unsere Summe 1 plus 1 weitere 3 plus plus plus 1 und die multiplizieren wir jetzt mit der Zeit sind das ist aus multipliziert Situation was ist das also schreiben was man meint Pünktchen in dem jeder sieht was passiert ja das ist das was da oben drüber steht da können Sie jetzt aus multiplizieren Sie kein großes Problem mit C 1 plus der 2 plus CAN mehr so ist was ist das in Summe Notation das ist die Summe K gleich 1 bis n über zehnmal AK sonne vergessen Sie was da unten steht und gucken sich noch das 1 und das ist nun wirklich eine einfachstmögliche Rechenregel im multipliziert man aus man hat das Ziel vor der so bestellen und zieht einfache Summe ein und wie klammert man aus meinen dass sie aus der und schwatzte vor es schöner kann selber nicht die mehr und alles unten können Sie komplett vergessen wunderbar Rechenregeln also sie müssen vor allem Bedenken jetzt steht hier einfach nur K aber wenn Sie konkrete eine konkrete Summe haben dann steht da nicht kann also in der Städter 7 kam weil sie muss von K Quadrat durchkam minus 3 und das Ganze in Klammern hoch 5 minus K hoch 3 durch 7 Jahre man kann und dann schreiben Sie das nicht es Pünktchen Pünktchen Pünktchen ganz mit dann machen Sie vielleicht das können Sie machen und dann kommt der Moment wo man den Wald vor Bäumen nicht mehr sieht deswegen so gut also jetzt können aus multiplizieren ausklammern an der Stelle gleich ein ich brauche noch dazu wo ich kurz gerade
mal der Herr der Seitenwechsels doof wer sie
können diese Szene der 1 können Sie die Zahl aus der Summe ausklammern wenn jedes Mal die gleiche Zahl drin und das erkennen Sie daran dass dieses C nicht von K abhängt wenn Sie in jedem so meinten der andere Zahl haben können Sie natürlich nicht ausklammern also kommen sie nicht auf die Idee das AKH vor die Summe zu ziehen wir also aus der aus der Summe 2. 4. 11. 8. 10. 12 kann sie natürlich 2 vorziehen aber nicht aus dem 1. so man 1 aus dem 2. 2. und 3. 3 1. 4. 4 grundsätzliche sozusagen dass man nichts falsch gemacht hat dieser Buchstabe K der macht Sinn nur innerhalb des Summen Zeichens wenn Sie irgendwie rechnen und dabei gerät dieser Buchstabe K oder was auch immer dort steht JK Elefant Blümchen hier diese diese Bezeichnung Gerät außerhalb des Summen Zeichens dann so was falsch gemacht ja also Sohn Summ summ summ Ausdruck wie Karmal Summe K gleich 1 bis 17 über fragen Sie mich irgendwas macht keinen Sinn darf nicht vorkommen dieses wenn sie in dieses K diese Nations Index ist dann darf das kam nur innerhalb der Summe unter vor das kann nicht stimmen muss was falsch sein nur gucken wo es passiert ist aber das kann nicht passiert das ist ne ganz gute Selbstkontrolle so also das war ausklammern aus multiplizieren so was kann mit zum noch machen sie können umsortieren diese Nations Reihenfolge also Sie haben eine 1. Summe 1 plus 1 2 plus und so weiter bis plus 1 und der zweite so mehr die kann natürlich auch eine andere länger haben es bereits an da gleich 1 bis in über BKA oder wenn Sie die gleiche Länge haben dann können Sie das natürlich umsortieren in der Sonne K gleich 1 bis CardBus bekannt das sieht jetzt toll aus das einzige was hier passiert ist Folgendes da vorne steht er einst USA 2 plus 1 plus 1 plus B 1 bis B 2 plus Biere bis plus PIN Unrecht steht A 1 plus P 1 plus Abfall Flussbetts beim Plus aber bloß B 3 plus A 4 plus aber bloß P 4 ja das ist genau das Gleiche nur in Reihenfolge aufsummiert erst längst sortieren vergeben Sie erst alle super alle diesen rechts man so dass immer abwechselnd mehr passiert wenig so was können Sie auch immer machen das ist mehr ja auch nie banal Rechenregel die man aber oft braucht wenn Sie so eine Summe haben von 1 bis n K dann können Sie die an jeder Stelle wenn Sie jetzt mein Emir nehmen das kleiner ist als also eine Summe über 27. meinten dann können Sie die sehen als die Summe der ersten 12 und dann kommen auch die andern 15 dazu also das können Sie schreiben als eine Summe von 1 bis n plus mehr Sonne von allen plus 1 bis n er kann was wir machen ist einfach die Summe auf trennen die 1. die 1. Dreuw Summanden und dann der Rest so das ist auch nicht tiefsinnig sollen jetzt kommt die und übersichtlichste Aktion der so genannte Index und was man da macht ist Folgendes also wenn wieder eine Summe von 1 bis n über Aka bitte also da steht 1 USA 2 so 3 bis plus 1 März könnten sie aus irgendeinem Grund auf die Idee kommen ich will aber den kann ich bei 1 anfangen soll nicht wie bei 0 anfangen damit das immer noch n so man Unsinn schreiben Sie hier sinnigerweise in das einzelne zu von 1 bis Ende von 0 bis N minus 1 zählen sie immer noch ein Stück und dann können Sie hier hinschreiben A K plus 1 und dann stellen Sie fest dass es genau die gleiche Summe oder setzen Sie K gleich 0 A 1 setzte Tage ich ein also der rechten Summe setzen sie kann 0 dann kriegen wir 1 plus er 2 etwas ab als dass er 4 und der letzte Summand ist A 1 plus minus 1 plus 1 also ein genau das Gleiche sie für mich ist natürlich fragen ob ich nicht etwas spenden weil wozu sehen Sie gleich wozu ich will nur sagen sie müssen natürlich nicht nur ein Ziel sie können auch jetzt wissentlich völlig absurd an der Stelle was macht manchmal sehen zu können aus sagen feines bei 18 bis AK minus 17 und Sie sah es waren Sie bei 18 anzuzählen unser 18 bis 17 A 1 10 weiter als Raucher zweier dreier 4 und was ist denn das was ist der letzte Summand minus 17 A 1 plus 17 minus 17 ist ein Herr Gott das sogenannte Index Stift und wozu das gut ist natürlich hat so dann würde ich gern in der 2. Hälfte als steigen und ihnen nach noch mal wieder eine schöne Aussage über das Zusammenzählen von Zahlen zeigen werden vorgesehenen sie die 1. N natürlich zahlen zusammenzählen 1 plus und so weiter bis plus kann man das schon als eine geschlossene Formel 1 x 1 plus 1 heiligen schreiben das habe ich noch so ein Teil der Ball das 1. in Leitung Verlauf der Vorlesung mal wieder auftaucht 2. 2. und jetzt auch noch mal dazu dient die Sorgen und Aktionen bis hin zu üben und ja einfach interessanter Zusammenhang ist der heißt hier mal Satz 3 9 und worum es hier geht ist die sogenannte geometrische Summe so Unternehmen sich jetzt erregende zahle ich mit der bitte ihn nur eine einzige nämlich 1 dürfen Sie nicht nehmen aber ich wie jeder andere reelle Zahl gilt das folgende wenn Sie die Summe bilden von Call gleich 0 bis Ende Wirkung auch für alle die noch Mühe haben sich zu entziffern was denn bitte das sein soll das ist Couch 0 plus Couch 1 plus Kupferdraht plus Couch 3 und so weiter bis Couch N Kuchen und es einfach das ist 1 Q hoch 1 plus Chorquadrat plus Couch 3 plus und so weiter es habe wieder Pünktchen Couch ein ja kann man ausrechnen dann kommt da raus 1 minus Q hoch N plus 1 durch 1 minus Kuchen und das ist die Behauptungen also diese Summe von innen Zahlen können Sie immer als ein hoch schreiben und das ist die Formel was gemäß auf verschiedene Weisen beweisen er ich mache den direkten Beweis und lassen die Induktion als Übung das ist kann man schön dass Induktions- Aufgabe machen ja wir es fängt die Summation fängt mit K gleich 0 an ja wo er warum Sondereinfluss eigensinnig entstehen weiße Ende Formel heißt ist die stimmt nur wenn etwas es ist einfach das ist das was rauskommt 14 equals und ausrechnen dann werden sie sehen da muss etwas 1 da wie gesagt sie sollen sie sondern selber legen also machen Sie das glaube ich auch Übungsblatt drauf den Induktions- beweist mal selber und ich mache ihn jemand direkten Beweis so und was ich jetzt mache ist Kulisse mich ein bisschen dass es auch ganz gut wenn sie mal gucken wird der linke Ausdruck die sowohl die Macht für Q gleich 1 wunderbar sehen was steht da wenn sie Q gleich 1 entsteht der 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1 im plus 1 x das kriegen wir hin das ist ein Plus 1 mehr Einfluss Einfluss 1 endlos einstmals endlos einst aber der rechte Teil ist für Kuhmilch einzudämmen Blut Kuhmilch einzelner rechten Seite einsetzen dann gibt das nur durch 0 das ist nicht so wirklich gut definiert und dementsprechend ist hier Q gleich 1 verbotene aber wie gesagt für Q gleich 1 lässt sich das leicht ausrechnen gut aber sich jetzt mal mache es sich rechnen nicht die linke Seite aus sondern ich rechne mal aus die linke Seite X 1 minus Q also 1 minus Kummer die Summe von 0 bis Couch K also ich multipliziere sozusagen ich wurde Wege seine 1 minus Q was wir natürlich jetzt rauskriegen müssen ist 1 minus Corinne Plowright zer was passiert wenn sie das machen zunächst mal können Sie diese Summe davon natürlich also dieses diese Klammer davon aus multiplizieren bleibt übrig K gleich 0 bis N Q Hochkar minus 2 Mal Karl gleich 0 bis N Kufka das ist aus
multiplizieren open bracket vom Sohn Zeichen so jetzt steht vor dem 2. Summe Como das hängt das können Sie jetzt aus multiplizieren sowas Freunde sagt Hammersen 1. beschreiben aber gleichwohl des MQ Hochkar und das Q multiplizieren sehen die Sonne rein K gleich 0 bis Ende dann steht Ihnen drin Koma Couch K plus 1 Kung Markus Karplus ein Ciscos K plus 1 kann und jetzt kommt das die Stelle wo ich Ihnen sage jetzt brauche man den Index Shift weil was passiert jetzt jetzt schauen sich diese beiden summender mal an jetzt passiert was ganz tolles was macht die 1. die 1. Summe zählt 1 plus Q plus Kupfer war Courtrai plus Kobes Choräle und was wird abgezogen wenn Sie kann welche 0 einsetzen steht der Kuh dann Kupferdraht und so weiter bis Current los als also sehr meinst du Scopes Kupferdraht muss gut Profil und 2. minus Co das gut 1 Kor Findus Q 5 das fällt fast alles wieder weg so und das müssen wir jetzt nur in diese Formel wusste einnehmen Grund dafür dass der Index Schiff gut wir lassen mal die 1. Summe so stehen wie sie da ist K gleich 0 bis N Hochkar und bei der zweiten Mariechen Index Stift ich will dass da auch hinten Couch K steht also in beiden Sumpf Hochkar stehen damit die was wegfällt also muss ich bei nicht bei 0 sondern bei 1 anfangen zu sanieren also ich mache mir kalt ich 1 bis N plus 1 Couch K probieren Sie es wieder aus ich behaupte die letzte somit die da und die letzte drüber sind gleich oben fängt an mit Kuh plus Chorquadrat plus Couch 3 bis plus 1 unten fängt an mit Kuh und gibt es Couch ein genau das Gleiche jetzt sieht man aber schöner was passiert es wenn Sie mal von der 1. Summe denn nur den 1. Summanden weg alle mal was ganz wird man sowieso nur von 0 bis 0 über Kufka bloß nur so mehr von 1 bis n über Couch K das gibt zusammen die 1. Sonnen Summe von 0 bis 0 ließen sich ziemlich langweilig weil das so war mit einem einzigen so meinten dann kann man sich von streiten das Wort Summe ist das einfach 1 also dieses Ding was hier steht ist eine äußerst komplett komplizierte Methode einziehen zu schreiben aber man ganz egal wie einfach auflösen indem man tut was da steht initialisieren kam mit 0 rechne Kuchen und 1 addieren noch zum K drauf so lange noch nicht bei 0 sind stopfen alles fertig also 1 was geht noch viel kompliziertere Methoden ein zu schreiben aber das ist mal so eine erst so jetzt das war die 1. Sonnen jetzt müssen wir die zweite abziehen und dann mache ich das endlich mit dem letzten Summanden genau das die von K gleich 1 bis plus 1 der nämlich nur den Teil von K gleich 1 bis Ende mit Couch Car was bleibt noch übrig der letzte Summand der Ferkah gleich plus 1 dass ich muss noch Couch im Plus 1 Sounds Achtung der springt wieder ja
so also wieder erst orientieren nach dem ganzen
Geflügel hier was ich gemacht habe ist ich habe die 1. somit die links beim Wort in den Schild steht in 2 Teile aufgespalten und ich habe die zweite Summe in 2 Teile aufgespalten Summe von 1 bis 1 plus 1 ist 1 von 1 bis n und dann noch den Fluss 1. extra warum ich das gemacht weil jetzt steht genau das da was gegenseitig wegfällt wenn Sie mal schauen der Ausdruck hier und der Ausdruck hier sind absolut identisch wir glücklicherweise der einen Fluss unter anderem minus das das heißt das zusammen schon ist mit noch viel komplexere Methode 0 schreiben das ist 0 und was bleibt übrig was übrig bleibt es 1 minus Corintos sagt ja das immer da wo wir hinwollten sieht man jetzt nicht mehr so genau nicht also werden was wir jetzt gezeigt haben oben hatten wir angefahren also was willst gezeigt haben wenn noch Nabelbruch scrollen würden 1 minus Q mal Summe K gleich 0 bis Ende Q Hochkar ist 1 minus Core N plus 1 so oder Kuchen gleich 1 können Sie jetzt den 1 minus Q durch Multiplizieren durch das Dividieren und kriegen die geometrische Summe also keine Rechnung des MQ Hochkar ist 1 minus Core 1 plus 1 durch 1 minus Q Gott damit haben Sie diese Formel ich behauptet ja das ist die endliche geometrische sogar so und dann wir das Kapitel mit 2
Bemerkungen er hat die zweite ist die geplante des 1. für ungeplante als in Reaktion auf die Frage die gerade kam in der Pause da wenn ich kurz noch was sagen zum Symbol der sich eigentlich nicht vorhatte aber es bietet sich hier an das stimmt was wir jetzt haben ist diese Summen Zeichen als Zeichen für lange suchen um die kompakt zu schreiben genau das gleiche mit dem Produkt na also er wenn Sie zum Beispiel wenn Sie zum Beispiel als ich nenne das ja mal Bemerkung und Nummer weil dies wie gesagt nicht geplant zum Beispiel das Produkt 2 mal 4 mal 6 mal bis zu 28 Jahre das ist ziemlich große Zahl die sie aus rechnen müssen ach das wir können sie nicht den Bändchen sind doof und da geht es genau die gleiche Methode wie bei der Summe Schreibweise das können Sie schreiben alles und jetzt nennt man was man jetzt als Zeichen dafür dass man das man Produkt nennt man für die Summe das griechische es kriegen sieht meinen dann den natürlich das Produkt das kritische P also das die das große Pi das ist teilweise liegen also ein großes P und da kommt dran zum Beispiel den Fall K gleich 1 bis Nummer 14 über 2 K dann was Sie da steht es ist genau die gleiche wie bei der Summe dieses Zeichen bedeutet setzte erst K gleich 1 14 1 bis 2 x 1 ist 2 moorigen jetzt nicht so mehr so multiplizieren mal den Ausdruck für K gleich 2 also mal viel dann multiplizieren mit dem Ausdruck für K gleich 3 und so weiter bis K 14 erreicht das heißt der letzte Faktor ist 214 also 28 das ist genau die gleiche Idee ich denke dass in der Vorlesung dieses Produkt Zeichen dass die das ist die Analogie zum Summen Zeichen das Produkt wird in dieser Vorlesung denke ich wahrscheinlich gab also wenn dann ganz selten oder eigentlich gar nicht auftauchen aber es kam es in die Anregung des tauchten verschiedene allen Vorlesungen immer wieder auf in Physik in anderen Bereichen wird dort normalerweise nicht definiert war genial aus dem Matte Vorlesung und ich wollte es ja einmal erwähnt haben aber die Idee ist genau die gleichen Unsummen Zeichen das heißt wenn Sie jetzt auch das um seinen Hals 1. Mal gesehen vergessen Sie mal das Produkt Zeichen wieder und gewöhnt sich erst zum Zeichen und habe im Hinterkopf dass wenn das dann immer mal auftaucht da war doch was aber kurz was zugesagt das war genauso werde dass sie nicht neu ist gut also das ist die eine Bemerkung und die andere er ist noch meine Bemerkung zu Induktion ich hatte ihnen gesagt Induktion macht und wie man zeigt für n gleich 1 ist die Aussage richtig also der 1. Dominostein fällt um und wenn für n stimmt stimmt für plus 1 also wenn der Ente Umfeld fällt auch dem Fluss erst um dieses anfangen bei 1 ist natürlich klar liegen weil die natürlichen Zahlen 1 anstrengend aber es muss sich um beruht unbedingt bei 1 starten Sie können natürlich auch den 7. Dominosteine anwerfen womit die dahinter alle richtig stehen fallen auch alle rum und die 1. 6. es Einheit zu von feinen kommen da nicht vor oder er ist eines ähnlichen einen dritten weg ja also Bemerkung 13 Essen Induktion muss nicht bei allen gleich 1 starten die kann zum Beispiel bei Ihnen gleich 7 Staaten die kann auch mal in gleich 0 wichtig ist dieses Prinzip nach wichtig ist dieses
Prinzip da das man eben diese den Anfang hat 1. Dominostein fällt um und ich danach steht die Dominosteine richtig also wenn der Ente fällt fällt im Plus erst ich habe ein Beispiel dabei dann war mein zweites Beispiel für Induktion 3 11 also bei diesen ganzen aus sagen die jedem oder zumindest bei der Aus sage ich jetzt beweisen weil sich nicht wegen der Aussage sollen die Beweise sich wegen der wegen der Methode also die Aussage die ich je beweisen will ist für jede natürliche Zahl und jetzt kommt die Einschränkung mit Andrew größer gleich 5 das sind immer noch ziemlich viele natürlich zahlen feine nur 4 weg gilt das 2 hoch N immer größer ist als im Quadrat schon warum habe ich jetzt hier die Einschränkung dass größer gleich 5 ist weise für die andern auch einfach nicht gilt also also wenn Sie meinen gleich 3 nehmen das ist zwar auch 3 das ist 8 und 3 Quadrat das ist 9 na ja und das tat das tut nicht nur also für Ende 13 beispiels- die Aussage einfach falsch weil 8. Nummer kleiner als 9 mit größer aber ich behaupte so weit man das N groß genug macht nämlich größer gleich 5 geht alles gut kann ja noch mal aus Spaß gucken was für 3 und 4 und 2. der 3 haben wir was für 2
4. passiert ja mehr zur also
das ist meine Behauptung werde ich es nochmal bei Induktion zeigen um Ihnen zu zeigen wie macht man eben so Induktions- Beweise wenn das nicht bei 1 anfängt also was ist immer der 1. Schritt Induktion und beweisen müssen ductions Anfang machen das nur freuen in gleich 1 für n gleich 1 er tut sogar ausnahmsweise aber für eben sie werden dann keine Induktionsschluss hinkriegen weil es eben 2 für 3 nicht tut aber Sie müssen jetzt den Options Anfang für in gleich 5 machen das sind ja auch in uns interessieren ja nur die Zahlen größer gleich 5 also das was wir für n gleich 5 Was ist 2 hoch 5 das wissen wir nur den formatige auswendig und muss sich überlegen also 2 4 8 16 32 32 ist zwar auch für und was ist 5 3 5 Quadrat ist noch okay das ist 25 und tatsächliches 32 Größe 25 Jahre alles gut Induktion Voraussetzung bitte also für ein n größer gleich 5 gelte die voraus also gelte die Aussage gelte die Behauptung also gelte dass 2 hoch N größer ist als im Quadrat und was wir jetzt machen müssen ist meistens der Hauptteil vom ductions beweist Induktionsschluss wir müssen von allen nach plus 1 schließen also müssen aus den Luxus zur Voraussetzung gewinnen das unter der unter dieser Voraussetzung dass es für ihn gilt auch für 1 plus 1 gibt so was also unser Ziel das ist immer gut sich das noch mal klar zu machen auch wenn sie selber mal gewusst das dann in Ihrem Übung was aufschreiben ein Ratschlag machen Sie sich erst mal klar was was wissen Sie und dann also Volvo wo wollen Sie hin und man sich das nicht im Kopf klar schreiben sich das auch mal auf also der Bearbeitung darf durchaus wie hier anfangen mit Ziel das wie ich und meistens ist es dann wenn man sich wirklich klar gemacht hat was man will auch nicht mehr so schwer sich zu überlegen wir dahin kommen sollen viele Probleme ergeben sich dadurch dass man am Anfang werden Sie nur so viel nebulösen Vorstellung hatten sich einig in so also was ist das Ziel das Ziel ist zu zeigen das wir diesen 2 oder 1 größer ist in Quadrate wollen zeigen dass 2 auch 1 plus 1 größer ist als 1 plus 1 Grad Sa also fangen wir an wir müssen uns um 2 Uhr im plus 1 kümmern was ist mir zwar auch im Plus 1 so und jetzt kommt das übliche Phänomen bei beweisen ich nenne das immer zielgerichtet rechnen jetzt müssen sie dieses Ding irgendwie und Form und am Schluss muss mussten lange und eigens kehrte kommen und am Ende muss dann stehen kleiner er größer als plus 1 Grad zwar was soll ich machen ich kann ganz viel machen zielgerichtetes rechnen überlegen Sie sich was weiß ich da ich meine was ich weiß ist Induktion Voraussetzung das muss ich irgendwann mal verbinden und außerdem weiß ich noch dass größer gleich 5 ist soll sich auch nicht vergessen lassen sind meine 2 Dinge die ich weiß ich weiß was über 2 Wochen also muss es irgendwie schaffen das meiner Formen mit der ich arbeite 2 Uhr in das steht nur dann kann ich mein Wissen verwenden also wo kriege man zwar auch in mir deswegen zielgerichtetes rechten er sich schreiben die 2 auch im Plus 1 als 2 zweimal 2 hoch N und das nur so die Schritte die sind aber wenn man sie so vorgeführt Krieg in der Vorlesung sagt man ja stimmt aber wo kann ich denn da drauf und ich habe gerade versucht ins erklären wie kommen Sie da drauf Sie müssen sich überlegen über was weiß ich was ich weiß es über 2 auch in aus den 12 plus 1 kann ich mir Leichen 2 hoch N machen indem ich wenn ich ein ist so trenne das ist das was dahintersteht steckt also jetzt weiß ich 2 mal 2 hoch N jetzt kann ich meinen Induktion Voraussetzung verbinden nicht weiß 2 hoch N ist größer als im Quadrat wenn das geht es auch 2 2 hoch N größer als 2 im Quadrat wir können diese ungleich und auch mit 2 durch multiplizieren positive Zahl der sich mit dem Relations Zeichen nix so und jetzt kommt wieder was und intuitives allen und dann auch da wieder warum mache ich das mehr ich muss irgendwie auf endlos 1 Quadrat kommen was ist endlos eines Quadrates ist vorderer plus 2 im Plus 1 binomische Formeln ein in Kraft nicht ich muss man Quadrat nachher haben ich habe 2 im Quadrat ich das hat ein Quadrat ist gut über bei den Quadrat zu viel und dafür mir die 2. und die 1 also muss ich mir als einen der entfernt an den Enden 1 passten und das in Quadrate halten also ist ist relativ naheliegend wenn auch erstmal komisch aussieht wir das eine in Quadrate sicher haben wir schon mal zu schreiben und dann noch bloß in Quadrat Schwärmer gleich im Quadrat plus in mein wer die Stimmen der das nicht die Fragen Frage sie kommt man auch sehr jetzt
verwende ich nicht das n größer gleich 5 besonderes in größter 3 ist das reicht warum brauche ich das nicht wenn n größer als 3 ist dann ist n x n größer als 3 Mal in also sind wir drahtlos n x n größer als im Darabos dreimal in warum mache ich das mehr was will ich im Quadrat plus 2 im plus 1 im Quadrat plus 2 in habe ich schon und noch ein Ende mehr das ist im Quadrat plus 2 1 plus n na ja bei es immer größer gleich 1 da sicherlich größer gleich im Quadrat an dem Fall sogar größer man indes Größe 5 im Quadrat plus 2 plus 1 zu und das ist ein Plus 1 klar gut zur damit es mein Ziel erreicht den Nutzungs- Beweise fertig und wir haben diese Ungleichungen da oben für alle n größer gleich 5 gut wenn sie noch Lust haben sich indessen Induktionsherden dann nehmen sie das nächste Übungsblatt oder folgende Übungsaufgabe Übungsaufgabe 3 12 da das 1. ist für jede reelle Zahl x die größer ist als minus 1 also in dem offenen Intervall minus 1 unendlich und für alle natürlichen Zahlen n gilt die folgende Ungleichung nämlich wenn sie 1 plus
X nehmen untersuche entnehmen dann ist das immer größer gleich 1 plus n x x zur Ungleichung und das kann man wunderschön Induktion zeigen die ungleichen hat auch einen Namen ist die sogenannte Bernoulli
Ungleichung und die geht Ihnen was ist der Vater davon diese Ungleichung ist nicht besonders exakt also vor allem für große X ist das was links steht immer größer gleich dem was Recht das stimmt schon aber es ist um Größenordnungen größer also das ist sehr schlecht und gleich für große X für kleine Hexe sie relativ gut und was sie geht es mir relativ grobe Abschätzung für so unter haben von der Sorte 1 plus x hoch ändern in groß ist sowas essen auszurechnen wenn die Potenz von der Mehrzahl und Sie können sie gut mit der rechten Seite so zumindest mal nach unten begrenzen das ist Übungsaufgaben Nummer 1 das ist
Induktion oder der 2. Induktion
diese mal zeigen können und auch noch mal mit dem Sonnenzeichen zu üben ist die allgemeine Dreiecksungleichung also wir haben wieder eine natürliche Zahl n es bei Induktion nicht schlecht und wir haben n reelle Zahlen A 1 bis A 1 und dann behaupte ich dass Folgendes gilt wenn sie jetzt nicht die somit K gleich 1 bis NAK angucken also wieder die Summe dieser die Zahlen 1 bis 1 und davon den Betrag dann ist das immer kleiner gleich als wenn sie 1. Beträge bilden und dann die Summe Karl gleich 1 bis Betrag AK das ist wieder in Form von Dreiecks ungleichen warum nein das kriegen Sie raus wenn sie mal in gleich 2 Sätzen Ungleichung für in gleich
2 steht da gleich 2 steht der Betrag von A 1 plus 1 2 ist kleiner gleich Betrag von A 1 plus Betrag von O 2 das ist das was ich Ihnen als wir Beträge geredet habe als Dreiecksungleichung verkauft hat und was man jetzt hier hat ist die 3 sogleich mit ebenso man damit 2 und das funktioniert genauso und wie beweist man das man Beweise über Induktion und diese Dreiecksungleichung für Fällen gleich 2 kann man gut das Induktions- Anfang nehmen oder man Guccis für n gleich 1 1 die Sache noch einmal war und da muss man dort den Options schwer macht werden gut das ist das was ich ja in diesem etwas auf der er gab über Beweistechniken sagen wollte sie sehen ich habe da noch viel anders untergebracht so Mutation und so weiter jetzt in einer Minute neues Thema anzufangen Martini sehen wünsche Ihnen also und was nein ich wünsche Ihnen also schönen Abend und wir sehen uns dann morgen Nachmittag wieder die auch besser
Momentenproblem
Parallelen
Mathematikerin
Aussage <Mathematik>
Mathematiker
Implikation
Differentialgleichung
Zahl
Quadrat
Natürliche Zahl
Schwebung
Zahl
Hidden-Markov-Modell
Quantenelektrodynamik
Vollständigkeit
Quadrat
Limitierungsverfahren
Exponent
Mathematiker
Kerndarstellung
Quadrat
Torsion
Schwebung
Indirekter Beweis
Schwebung
Indirekter Beweis
Sierpinski-Dichtung
Länge
Momentenproblem
Natürliche Zahl
Irrationale Zahl
Aussage <Mathematik>
Frequenz
Zahl
Indirekter Beweis
Ganze Zahl
Rationale Zahl
Mathematiker
Schwebung
Diagonale <Geometrie>
Faktorisierung
Quadrat
Quadratzahl
Momentenproblem
Natürliche Zahl
Rationale Zahl
Umkehrung <Mathematik>
Gleichung
Schwebung
Zahl
Rationale Zahl
Schwebung
Indirekter Beweis
Komplexe Ebene
Verbandstheorie
Natürliche Zahl
Vollständige Induktion
Implikation
Länge
Natürliche Zahl
Mathematiker
Induktionsschluss
Quantifizierung
Schwebung
Homogenes Polynom
Natürliche Zahl
Mathematiker
Schwebung
Zahl
Natürliche Zahl
Gleichung
Schwebung
Zahl
Summe
Schwebung
Summe
Reelle Zahl
Natürliche Zahl
Mathematische Größe
Summe
Balken
Zugbeanspruchung
Quadrat
Quader
Rechenbuch
Gradient
Summe
Länge
Kalkül
Gewichtete Summe
Momentenproblem
Reelle Zahl
Stab
Zahl
Unendlichkeit
Summe
Quadrat
Gewichtete Summe
Momentenproblem
Schwebung
Zahl
Index
Summe
Länge
Zusammenhang <Mathematik>
Gewichtete Summe
Summand
Vorzeichen <Mathematik>
Reelle Zahl
Gruppenoperation
Schwebung
Zahl
Index
Summe
Summand
Summe
Multiplikation
Schwebung
Division
Summe
Quadrat
Faktorisierung
Natürliche Zahl
Physik
Zahl
Aggregatzustand
Positive Zahl
Quadrat
Homogenes Polynom
Ende <Graphentheorie>
Kraft
Induktionsschluss
Zahl
Gradient
Quadrat
Ungleichung
Bernoulli <Familie>
Reelle Zahl
Natürliche Zahl
Sierpinski-Dichtung
Summe
Ungleichung
Betrag <Mathematik>
Exponent
Dreiecksungleichung
Reelle Zahl
Natürliche Zahl
Abschätzung
Größenordnung
Zahl
Betrag <Mathematik>
Dreiecksungleichung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Beweistechniken
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 3
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35626
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

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