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Adjungierte Operatoren

Video in TIB AV-Portal: Adjungierte Operatoren

Formal Metadata

Title
Adjungierte Operatoren
Title of Series
Part Number
5
Number of Parts
22
Author
License
CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany:
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Identifiers
Publisher
Release Date
2010
Language
German

Content Metadata

Subject Area
Abstract
Viele Optimierungsaufgaben in Naturwissenschaft und Technik lassen sich nur als Optimierungaufgaben in unendlichdimensionalen Funktionenräumen modellieren. Beispiele sind Aufgaben der Variationsrechnung, Energieminimierungsprobleme oder Optimalsteueraufgaben. Die Diskussion dieser Aufgaben erfordert andere analytische Techniken als im Endlichdimensionalen. Insbesondere funktionalanalytische Hilfsmittel spielen eine tragende Rolle. Im Laufe der Vorlesung werden wir sehen, wie man mit ihrer Hilfe qualifizierte Optimalitätsbedingungen herleiten und auf deren Basis optimale Lösungen charakterisieren kann. Die Ergebnisse werden anhand von Beispielen aus Physik und Technik illustriert.
Point (geometry) Computer programming Flock (web browser) Greatest element Durchschnitt <Mengenlehre> Maxima and minima Set (mathematics) Number Plane (geometry) Operator (mathematics) Abbildung <Physik> Dualism Convex set Operator Hyperplane Bounded set
Matrix (mathematics) Operator (mathematics) Abbildung <Physik> Operator Equation Matching (graph theory)
Axiom of choice Dot product Raum <Mathematik> Direction (geometry) Element (mathematics) Rollbewegung Hausdorff space Operator (mathematics) Hilbert space Dualraum Operator Isometrie <Mathematik> Bounded set Gebiet <Mathematik> Matching (graph theory)
Group action Dot product Norm <Mathematik> Product (category theory) Square Function (mathematics) Matrix (mathematics) Matrix (mathematics) EUKLID <Programm> Hilbert space Network topology Operator (mathematics) Abbildung <Physik>
Stress (mechanics) Computer programming Haar measure Dot product INTEGRAL Real number Bogen <Mathematik> Transport Square Function (mathematics) Atomic nucleus Matrix (mathematics) Continuous function Algebra Operator Matching (graph theory)
Computer programming Structural load Identität <Mathematik> Normal (geometry) Operator Matrix (mathematics) Atomic nucleus Sequence
Inclusion map Military rank Propositional formula Atomic nucleus Matching (graph theory)
Norm <Mathematik> Quantification Function (mathematics) Atomic nucleus Continuous function Sequence Inclusion map Operator (mathematics) Differentiable function Operator Absolute value Fiber (mathematics) Matching (graph theory) Derived set (mathematics)
Logical constant Kante Zahl Complementarity Function (mathematics) Equation Atomic nucleus Continuous function Force Velocity Operator (mathematics) Manifold Normed vector space Modulform Stochastic kernel estimation Operator Partial derivative Randbedingung <Mathematik> Optimization problem Moment (mathematics) Funktionalanalysis Complete metric space Rollbewegung Null Military rank Film editing Vector field Grand Unified Theory Hilbert space Network topology Quotient Pressure Derived set (mathematics)
die her Sport glaube gut Wiederholung
Verletzungen ja mich mal daran dass sich kleine natürlich die dass sicher eine Tür Cook wird die nächste Woche Freitag ob ich mal hier rein kann gut ja und gehe gut gut Wiederholung von also was habe ich gemacht ich habe so mit dieser ganzen Trennung setzen das Kapitel beendet er hat dann dieses Stücks funktional eingeführt also ist man in den wie extern definiert der Überlebende beziehungsweise ganze Scharen überleben und dann verschiebe ich die immer so durch den Raum und der Bilder nie irgendwie dazu primum über alle x so dass das der C R gerade so die Hyperebene tangiert und und das und der Wert der dabei aus konnte er nicht stets funktional man kann dann sich überlegen dass dass sie wieder so nur halb Raum definiert dann in dem die Menge C riecht und dann irgendwie wieder endlichdimensionalen abgeschlossene konvexe Mengen sind gleich der Durchschnitt aller Stückzahl das ist dann zwar nicht viel in Stücke Abraum weil keine Stütze Ebene muss nicht unbedingt period mit Ziegler gemeinsam haben aber trotzdem gilt diese Darstellung die auf ziemlich nützlich ist wenn man mit konvexen Menge allgemein arbeiten okay und dann haben wir auch gesehen wo für das Ganze dann ein bisschen gut ist und können die 1. Dualität Resultat an Beweisen für eine einfache Aufgabe da sich nämlich den den minimalen Abstand eines Punktes Epson und zu einer aber Menge R C wir berechnen möchte das natürlich nicht er war jetzt in vielen so die nicht existierende er dass man Minimum andere wenn die Menge C zum Beispiel nicht abgeschlossen ist aber hier ich kann es den wert immerhin angeben über dieses sogenannte duale Problem und das Max wird in der Tat und sehr schön wird das den dessen und darum ist dann hier kommt muss dieses Support funktionalen richtig derselbe selber Sohn so drin und so weiter nicht so angenehm hat kann sich überlegen müssen und darum ist der Krefeld dass sie einfach aus und müssen noch die Elemente aus dem und ein Kompliment und da kann man sich dann das kann man dann schon ein bisschen benutzen um einige Sachen 1 zu sein tut er sah gemacht damit ist diese das Kapitel der der der Trennungs setze auch auch abgeschlossen war und der die werden und wird im Laufe der Vorlesung meinen wieder das irgendwie vielleicht vor Weihnachten noch einmal begegnen auch als sein erst nach weiter sehen und die Schuldigen comma also ich bin mit erst mehr im weiteren Verlauf einig kann mir von Rose Rolli kommen erst wieder zum Tragen zum ungleichen okay ja auch Netz comma 2. Hilfsmittel das wir benötigen die meisten wenn das kennen und auch die Leute aus der optimal forschte zur Steuerung insbesondere zum aktiviert Operatoren aber gerade am Ende dieses Abschnitts herrlichen paar Sachen drin die für die Optimierung wichtig sind die man normalerweise nicht eine Patin gedruckt Operation und ja so ich muss das Setting Essen ausbreitend wenn es immer wundesten verwirrend also X y ja normierte Räume wollen wir dann habe ich ihn am Operator in den Jahren stetig von X nach Y und ich habe allen erst immerhin jetzt Unstern aber die sagen jetzt x-beliebig aber fest und dann der sie nicht mehr die Abbildung okay wird ab X auf er Immergut und funktional definiert die von X ist gleich aber X comma F und jetzt wo sich die Nahrung immer dran schreiben uns kommen behindern wir also sehen geht es immer wieder anprangern haben Sie ja ist klar wenn ich es festhalte dann Eckert wenn ich und es 4 festnehme Stückzahlen X 1 ist Abbildung nach er okay und man sieht auch sofort dieses linear also Länder das Wohnzimmer ich kann das Militär in 7 x 1 bis x weil es und ja also auch diese Abbildung in der nicht dann alles auseinander zu nehmen wie Modifikationen der Fall und es ist auch stetig n beschränkter Zahlen über den und Beschränktheit immer gleich Tätigkeit und was ist das erst einmal nicht macht okay ist
das ist es wenn einmal die ob doch das sehe ich jetzt auseinander habe ich hier einmal den Raum von in Uetze und Stern und von den von A X in in der in der Norm und da ziehe ich dann wieder weil er keinen passiert sie hin er die Operator noch aus also L XY x x 1 x X Y indes wünschte der er nur männliche zum und es habe ich das geplant ja und das 1 und dann sehe ich habe ich hier in konstante denn natürlich von ich habe ich glaube ohne die Indiz ist hängt natürlich vom A und F ab aber es ist irgendwie beschränkt okay da endlich das auseinandergezogen sieht offensichtlich Definition der Operatoren war das heißt was sollte die ist aus den Stern und da es beliebig war kann man jeden er ist aus ist und Sternen 1 G aus vid Stern zuordnen ja eben durch diese Abbildung 1 g ist gleich oder ich schreibe sitze immer direkt als duale Paarungen Hammer gesehen X Stern nichts ach nicht y A X ist ein Stern YLE soll ich dann auch nun period wir über diese zu ordnen das Kleid direkt zu schreiben ich habe Ihnen zeigte dass es aussieht Sternes Pressbaum gibt okay so sind diese Zuordnungen ja den nehmen wir dienen der Arsch der und die bildet dann also ab y Stern nach ich stehe da wie ich eben F aus wird verstärkt das zuordnen okay für wen das jetzt neues so denke Fischer der das alles schon mal gehört für diejenigen die das doch noch nie gehört haben die denken eine transponierte Matrix ich zeigt Ihnen gleich das Beispiel auch okay wissen wir es noch gar nicht über Stern aber man könnte in der Tat zeigen dass das alles in einem sehr sehr angenehm Operator ist macht es gilt damit diese diese Gleichung ich das benutze 11 ja ich fange ich fange mit anderen sollt er nehmen so ist comma A X ist ja nicht deren Geld verloren es gleich dreimal gesehen G comma X ich stören Text und das ist unser Art Sternen S Bits ich Stern nichts das gilt für alle 11 mehr wir sind Sternen Olegs der Bank X und das führt dann auf die Definition von diesem tendierten operatum die jetzt kommt dass die Definition 2 1 1 X und y ja und ihre Träume und Mundart aus L XY rief gegeben habe mehr erst nach einer Abbildung sagen weil ich weiß sogar J die eindeutig ist ein aber ich weiß er die Organizer drüber weiß auch nicht
ob diese in der ist stetig das immer alles da sie wenn in diesem Bildung existiert vom das macht dann einen an die heißt der zu aktivierte operatum gebiete Apparatur falls eben genau diese E R in die Täter und in Geld also falls gilt A X Blitze und Sterne Lucia ist ein Stern ist gleich Fa ohne Punkt X erstellen ist ist und Stern der X in Sternen alle exzellent x jetzt einstellen er nennt es okay sie gleich 2 einzieht habe ich das hier schon so aufgeschrieben als er das in den aber Operator und das sieht man in der Tat trivialerweise ich habe den sich indische von Y so was und ich weiß jetzt auch gar nicht drüber über diesen Operator existiert der ist eindeutig und so weiter das existiert habe ich schon gezeigt wie ich kann wirklich Element aus ist Stern dort zunehmend aus ich stellen zu ordnen aber es ist vor allem auch eine eindeutige Zuordnung und diesen Jahren stetig wie das von dem Arzt reicht der nach 2 2 2 also da wollen wir wieder linear moniert spare ich mir zwar in diesem beliebige Operator ja und stetig dann existiert ein als dem Gitter Apparate und der ist auch länger und stetig in den entsprechenden der bildet in diese Rollen ab mehr mach ich hatte einfach hin ein eindeutiger ein Skript steht dieser es eindeutig sparen ein eindeutiger also Jahr steht die aktivierte Operator und es geht noch mehr wir wissen schon enormes beschränkt und es geht sogar nur Ungleichheit ja so es reicht sie kennt jemand da der Dekonstruktion des Add-in gehen aber hat das noch nicht dann würde ich diesen Beweis die ziehen ruhig sagen es kein Problem die anderen erst man dadurch nicht ja die ich mache mir ja nur den einfachen teil diese Inseln was was man vielleicht die zumindest zeigen dass das dass das Ding in mehr und stetig oder ich sage immer da also also Minister sich stetig ist diese Norm gleich hat dann muss man so ein bisschen arbeiten ist eine trivial geht man ja ich sei nicht nicht schwer aber es geht 1 Satz von haben danach kann sich wieder fortsetzen und so weiter steht denn es gibt ausführlich den fast so ähnlich wie beim Trennung als Kameras zeigen einig derselbe Trick ich will aber zumindest mal zeigen dass sie mir glauben wir dass es in den Jahren steht die Oper als Tätigkeit sein ihn die Mehrheit der Zeichen nicht das können Sie zu Hause wollen es kann sein Proteste Quatsch weil ok okay gut dann fahre ich das mal kurz und diejenigen die es schon kennen die freuen sich auch darin dass sich der Hof Wiederholung ist immer gut bewacht die Regelzonen Oper Waterford sofort aus der Genialität von sollen ein von dem aus was aber soll prima auf Hatorah kreative geben ob in und man okay und jetzt Beschränktheit beschränkte gucken dass dass man müssen also irgendwie zeigen dass diese nur L Y Sternen die Sterne dass die die kleiner ist als unendlich das ist super y wieder mit 11 die Schreibweise so anstellen gleich 1 ja und dann die ja denn das Bild rauben ist wir manchmal nicht Massen ausführlich also da Stern ist in X Stern noch ist diese enormen und sehr viele da kommt dann noch Sonne zu prahlen als dann steht hier die entsprechende hier nur alle paar so auch die für die finde ich aber nach Definition doch Folgendes das es es A X ist die Definition sollte genau Bratwurst und dass sie wieder so auseinander das eben vom gemacht hat wie soll ich noch mal die Rollen schreiben er ist und Sternen Ärzte und dann habe ich hier die zum Stern Norm wir die Norm der XY und hier x in der Xtra nur ich jetzt ja super über alle die 1 sind dann ist klar das ist kleiner gleich an L ich das Erzählung damit hat man hier und das waren beliebiger aber eben beschränkter der Hauptberater also keine endlich hat meine ich schon Beschränktheit sehr schön wenn wir also in Jahre beschränkt Apparate damit stetig dass das den eindeutig ist sieht man auch sofort wenn man mal annimmt es gibt 2 die das machen die die also dass sie aus der Definition dass ich Ihnen das keine auch nur mal kurz anschreiben einfach wie das an an an es auch trivial eigentlich nicht nur eines der 2 die das machen nicht nicht immer 1
Sterne mir ist 2 Sterne 11 X gucke ich mir mal Sonne Differenz an dann sage ich die machen beide das dann ist es also nichts anderes als 11 ja aber X minus aber X gleich 0 und das muss für alle 11 in denen er seine Stern gelten und X Element x und daraus folgt sofort dass das muss dann den Operator sein die sind also gleich an die diskreten dessen ausführlich dann haben wir sehr eindeutig weniger beschränkt wunderschön und diese Norm Gleichheit der C irgendwo noch steht ich weiß nicht mehr wo ja ich habe den Satz wirklich Soldat die Frau dann eben über Einsatz von haben danach das Städten Skripten ist ausführlich ich glaube wir brauchen wir aber gar nicht was sich ändern dass das immer neue Spiele okay sollen sich jetzt erst mal wieder man wird es jetzt nicht ganz im luftleeren Raum Chor hängen komme zum Paar Standardbeispiel man an der Stelle im April an ich muss es ein Hilbertraum aktivieren Operatoren Adresse ich bringe zwar erst noch ja ich brauchte doch ich mache das keinen finden Punkte sehr schön wir das alles in Hilbert wollen mehr einmal gesehen muss selbst Zeit mehr im nein mit diesen Wahlen Paarungen rum Bildung überreichte der ziemlich viele Sternchen an der Tafel und den über Träume müsste man da können wir den Dual Raum mit dem prima Raum identifizieren aber ich kann zudem Elementen nur aus dem so warum ein Element das prima Raums finden das gilt sogar 1 Isometrie dass sich die duale Paaren durch das entsprechende Skalarprodukt Traums ausdrücken kann und genau das nutzt man dann natürlich wenn man ja mit dem er hat dem werden Apparatur um bastelt ja das der so definiert man sich das dann mehr nein keine Gedankenstütze denn wenn auf Kommando bisschen durcheinander bei diesen Arten gelten Apparaturen 1 hat im Mai mit 4 Rollen zu tun ich selbst und nicht bei ihnen war wollen kann ich das immer ganz gut merken wenn A X nach Y abbildet da muss ich dass sie immer und umdrehen und Sternchen dran machen als immer so eine ganz gute Gedanken wie wir wenn man sich das so aus schade der geht in die andere Richtung mit Sternchen dran okay also das weil man manchmal schon ein bisschen durcheinander kommen das das eine Bemerkung Geschenke hängt Definition draus machen Bemerkungen 2 3 ist das nein X und es sind sie immer nur mit Träume sondern sogar übertroffen Budras ich habe das direkt immer mit Gleichheit ich Sternen ist gleich X und Y Stern ist gleich in als damit meines will ich daneben immer nur Sternen Element aus X zu und dass die dort Paarung durch das Endspiel Skalarprodukt schreiben kann ist dann aus dem steht die Apparatur habe dann existiert nach immer 2 2 und die Notation ist nicht ganz korrekt das ist nicht der wirkliche aktivierte Operator comma gleich zu so das so was habe ich jetzt ich habe gesagt ich kann die duale Paarung geringe Skalarprodukt ausdrücken da sitzt das Skalarprodukt Willkommen in dem Raum y ja das könnt ich jetzt schon als alle Paarungen kündigte der habe ich hier in Wien zugeordnet ist funktional dann kann ich diese ganzen KR-Kulissen aktivierten ob Berater an wen mache ich das mal einen freilich hat mal auf das ist X 11 und das wenn ich jetzt mal für und das ist das Ding zu auch zudem das funktionalen was so Y gehört so und das der vielmehr über das X auch ein Hilbertraum ist gibt hier sollen wenn das mal von X haben würde Schreibweise egal das das heißt dass jedes Element aus Fixstern und ich kann den Wählern in das X worden ist dass die globale Fragen ist das Ding und das ist jetzt ein bisschen also überlegen dass es unstetigen Zuordnung und y und so weiter weil das eben alles Isometrie ist und da zu wissen Vergewaltigungen Kazior ein ist das der Sterne und nicht das weil ich die jeden funktionalen immer eindeutig in dem Element aus dem Priemer Raum zuordnen kann mache ich das jetzt mal so okay zum man kann sich dann an das was was wir eben gesehen haben weil das eben zwischen dualen prima Roman überkommen Isometrie ist da kann ich gehe gelten diese ganzen Geschichten ich immer gesagt habe auch für den Hilbertraum Aktien Berater das heißt die Norm von A ist gleich der Norm von Stern und so weit okay die das scheint jetzt auch in von den nicht mehr davon der zwischen Hilbertraum und und und
aktivierten und normalem Aktion gelten Apparat ist da so bei X ein Hilbertraum hier wird kann man jetzt nur das Brandau zu symmetrischen Matrizen ein für ein Hilbertraum in aus LX und das ist immer Schreibweise für LX EX der anderen ab Abbildung von X in demselben Raum X dann ist der Hilbertraum adjungierte weil der geht genau X A Y sei nichts also des auch L x und man gilt stellen gleich an das heißt aber selbst Aktien gehen so für diejenigen für die das neue waren oder nicht so vertraut sind damit die sind jetzt wahrscheinlich endgültig raus aber jetzt kommen dabei 2 Beispiele die die denke ich die ganze Konzeption klarer machen wenn ich das mal weg die bösen Mutationen hat Beispiel 2 5 1. bei sind also das kanonische Beispiel X ist er wer ein Kreuz N wer also Hilbertraum das ich spreche auch nur selber traumatisiert opportun in dem Beispiel jetzt und dann ist ja in einer Matrix also eine Legende in der Abbildung in mehr so leicht in der Quatsch das Intenso 4. Stufe oder soll man nicht also ob und das ist er Kreuz N ja alle Länder an Operatoren auf mehr in durch den Schweigen so dann gilt Stern ist der die die transponiert dem 80. zu setzen sind es über traumatisierten Apparat aus den universal wo Xtra y ja das Skalarprodukt immer ein nicht jetzt die ganze Weile euklidische Topologie dann ist das hier A X transponiert y das ist nix transponiert transponiert y auch noch klammern nein das ist nichts anderes als X transponiert y er ein und dann bin ich genau mit Eis hier aber das ist nach Definition und das gilt für alle XY damit ist Sternlein anerkannt ok also nein das ist sozusagen diese Konstruktion der transponieren Matrix gestiftet auf allgemeine ja mehr Träume so nett wie ich ihn auch noch ein Beispiel geben oder das aber wird Funktionen und sehen das auch so ein klassisches Beispiel Text ist auch wieder Hilbertraum also auch wieder nur über traumartige Taubate das kann man aber auch jetzt ganz einfach alle Filiale offen LP stiften neue P und gleich 2 ist das Wort und dann betrachtet worden vielleicht holen integral und Beratung da sind egal ob Beratung an der bildet L 2 auf L 2 ab und ist so definiert helfen für Mutationen also klar A X von T ist gleich graue 0 1 K er T S der X von S die es dort mit T für 0 und 1 ich habe in diesem Punkt von Sonde Funktion K gegeben mit K der klar ist in L 2 0 1 rollt 0 1 das heißt brauche ich auch gleich noch warum ich habe also in Funktion begehen ließ offen an die lebt auf einer verdrahtet stopfe ich in eine andere Funktion aus L 2 0 1 daheim kann man sich leicht überlegen für jedes feste T ist das denn hier in der Funktion als L 1 kann ich integrieren und kommt in im in der Funktion raus so man kann auch zeigen dass die Funktion wieder raus kommt wieder eine Funktion aus N 2 ist das will ich jetzt mal machen dafür schätze ich die Norm ab von den Dingen seine jetzt in wie Nachname gerade und wenn ich mir die Wurzel immer spare wenn jetzige Wizard sollen das und und kleiner und endlich den weil leisten es ein funktioneller aus verwies die Norm definiert sich integral Vesta Draht nehmen von der Funktion dass die Funktion ist das übliche Doppel integral K E S es die es will das ist die Funktion Quadrieren L 2 nun die T es keine Wurzeln hier darum weil ich hier gut die Norm Quartett hat mich nie Niveau zu sparen so jetzt mal nicht Chuschi schwarze gleich das ist das integral kann nicht auseinanderziehen an hier die Norm klar Kakteen die die das ist Uschi schwarze gleich die Quadrate komme
daher so gut wie schwarz-weißen es weiß Gott ist weiß kann ab oder eine allgemein Skalarprodukt über kann ich abschätzig Produkte Normen und das ist genau das was ich je gemacht habe wie steht es gar kein
Thema drin dass sich raus und dann kriege ich 0 1 der Übersichtlichkeit halber schreibe ich das hier noch mal aus 0 1 K T S die es GTE vertrat X X mit 2 0 1 Quadrat das ist ein kleiner gleich CK comma bereut aber das aber das das war hier nie ja doch in der war ja falsch das brauche ich nicht mehr hören will der Wurzel warum ist jetzt da so so wurde es richtig Entschuldigung auch das ist der Funktion als er 2 dadurch weil sich das ist beschränkt die enormen überm ein als Quadrat 2 9 1 1 2 1 genau die taucht hier auf und dann fällt ja aber man ist hier ein Quadrat ok das heißt mit sehen wir das ich kann für jedes x in L 2 kommt da wieder 2 Funktion raus denn ich kann das hier beschränken und ich sehe auch sofort dass die Norm von diesem Operator Art von diesen Frithum Operator die ist kleiner gleich Wurzel aus CK waren immer definierte Supremo über alle Apps mit enormen 1 von ja von den entsprechenden aus Togo und na ja das habe ich hielt das ist dann und soll ich damit CK abgeschnittene Wurzel ziemlich fest okay das heißt also im Jahr stetige Opera hat oder dass das Ding linear ist er ist ist sofort klar dass mit vielleicht 2 x reinstecke heimlich entsprechendes sind ihre Windeln der Ritter des Integrals besoffener ziehen daraus folgt also es wirklich aus L L 2 0 1 wir Operator von S meine bei 2 wenn man Vertrauen und Beratung zu eigentlich nichts willst okay so was ist jetzt den was ist jetzt aktivierte davon und die kann man jetzt auch relativ einfach ausrechnen mit dieser so Phobien wird das allen klar sobald man sich hier so in groben Zügen was ich gemacht habe Boge so der aktiviert operatum schauen muss dass man das will ich wissen alles nach Definition ja weiter da ich XY der und da weiß ich aber was das ist das AX Weise dieses habe ich schon unten duale Paarung immer der 2 oder es dann abrupt immer 2 ist einfach ja es war Skalarprodukt also integral 0 1 und setzt nämlich hier A X das ist illegal und einzig Haare T S X von S denn es und das wird jetzt ja es daran multipliziert mit dem auch der so das Problem ist ja dass das Exil nehmen die Darstellung nicht ist sie so alleine stellen um zu sehen was das Stern ist ja letztlich einfachen Satz von Phobien jetzt vertausche ich hier die Integrations- rein voll dann ist das X vom S integralen 0 1 gerade UMTS y von T denn die DS aber es ist wohl nur scharf hinkucken 1 steht hier dieses äußeren des Grases S L 1 L2- Skalarprodukt und hier in der Mitte das muss dann y zum Zeitpunkt es ein Vollzug an einer Stelle S ja auch damit haben wir jetzt natürlich in aparte gefunden was nach waren da die Werte auf Berater nur scharf hinguckt ergibt sich gerade mit dem alle Museen in also ich gehe und es hier um dieses Kahnemann aufklären und ich würde das dann L integral Kern und ich würde das dann eben wie wir sie und ich transponiert Hackern period darum das habe ich hier ein bisschen Platz unterschreiben
erweitern wenn ich fertig mit dem Beispiel also Asarows folgt darstellen y das einen Tag mit den genau anders rum wie dort also S T Y von 1 die und dann sieht man auch sofort ist selbst A-Team gilt bekommen selbst hat dem geht heißt es die sind das hat erst mal schreiben dann nein dann besetzt hatten wir bedeutet haben in Sternlein ist sieht der fast genauso aus es die und es umgedreht sind und das heißt daraus folgt bevor das ist jetzt appelliert falls gilt K T S was das in symmetrischer integral Kern ist es für alle die es in 0 1 1 bei der die die gerade ihren es die Verdrossenheit selbst okay so das ist alles ein Risiko in und jetzt alles wissen Gedanken seiner aktiviert ob Radtour was da noch so gehen ja damit zum 1. zunächst mal paar Rechenregeln herleiten wie bei der symmetrischen Matrizen und dann kann man dann muss auch Gedanken machen über die in der also von alten Gärten Apparaturen ja ich genau dann invertierbar wenn auch invertierbar ist und ganz wichtig für die Optimierung ist dann dass man sich überlegt was es wählte unter Traum von alten Gärtner weiß man ja außerdem ihren Algebra das dann Matrizen so wild und und nun Frauen von war von Matrizen mit ihren transponiert man wie zusammenhängt so Tausend Unterschiede Beziehung und ein paar davon lassen sich unter gewissen Annahmen die anderen haben es in sich auch Funktionen ertragen und die anderen sind extrem wichtig weil da purzelt am Ende doch aus was man in der als zu teilweise ist was man in der in der nicht klären ob die wir als Kunst wenn Kirschen kenne Rechnung wo ein bitte kommt noch kurz das einmal zu Rechenregeln ohne Beweis wer sich wirklich ziemlich trivial überlegen wie bei Transporten wie bei transponieren Matrizen also es gilt als war Delta B Sternen ist alles Alfa erstellen bloß später B stellen für alle alle für das Wetter reelle Zahlen und Art wir soll es irgendwelche und Traktoren und direkt aus der Genialität und das ist auch total einfach also immerhin schreiben für die ich brenne Skalar Produkte bei mir Sterne es ist leicht aber darstellen er nie genau andersrum wie Sterne Sternen für alle Element L mhmmmm das habe ich das wirklich sehen in dar Harry Element L XY und Elemente y nach Z mit Excel sind Z in welchen normierten wollen es sie beim Transponieren von Matrizen aber wenn die Frage
am Anfang 1. mal einfacher und eine schreien ist egal mehr okay wenn das zum 1. Mal sieht ist es immer ein bisschen mehr aber man wenn man deren Dauer mitgearbeitet hat ist es gar nicht so tragisch so und jetzt das schön wenn ich hatte gesagt dass stellen und dann wird hierbei ist man auch in wird hierbei ist ist aber stetig invertierbar dann auch Sterns geht die schöne Formel die in der also vom des gerade der aktivierte aber unter zu in der sie unter der Beweis der ist so Banane den dringlichen der sorge in stetig invertierbar existierte in euren Operator auch minus 1 gleich Identitäten eines Identität jetzt in ja in X genau am billigsten ist nach minus 1 wieder zurück und dann der 1. in das nicht da muss sie gehen wieder muss hier die die Identität in y reine erhielt sie gemacht der geht von wird es Ilona Rights dass sie ihn Identitäten y egal aber wenn man nicht aufpasst ich beweise dass einfach jeder kommen auch da muss ich im Skript normalen Ornat der ich dass die Ziele einer Tafel hin Brücke landen schleichen sich eh wieder nur Fehler also freilich im Skript war darum was ist jetzt für die wie Sitz der duale Operator von der von der Identität wenn ich jetzt habe I IX die den Titel demnächst angewandt auf X war ich sterben du alle paar Wochen x x Sternen mehr anders period Schuldigen ich will wissen was ist der Dual oder die er der aktivierte Operator ja zur zu man zur Identität geflogen worden das ist nicht Stern X genau als er sich den rüber IX Sternen die X X oder ich Stern X und das ist natürlich nichts anderes als den Stern weist die Identität die macht nix als das und daraus folgte das Geld ist wichtig für alle externen aus Sicht der und X aus daraus folgt sofort da ist ihr Lietz Sterne ja da nicht sterben ist glaube ich nix stärker 4 Sterne unterhält Ed IX Stern ist seit Identität im Wahlraum X Stern es ist klar da Identität die die die tendierte der Identität ist die Identität in Durach auf okay so dann folgt das sind comma Sternen mal auch minus 1 Stern das ist nach der Rechenregel hier das ist auch minus 1 an Steam das ist IX Sterne und das ist ihm stellen und analog analog anders mehr auch minus 1 Sternen ist auch die X sterben und daraus folgt dann rechts links in der Nase da ich eindeutig und 2 ist ja es wird sofort auch wenn es ein Stern ist der inverse das es gibt das war es gibt muss sich dann nur noch 1 also wie ich das aufgeschrieben halt zeitlich korrekt okay also das ist nicht so schwer uneinig alles genau wie unendlich dimensionalen jemand bei Matrizen macht ja auch teilweise auch wenn es ein Stern macht genau das was man von inversen will nämlich erstellen abends einstellen ist die Identität gut das kennt man doch alles nur dass er niemals für ihn auf ihrer F A Vorlesung oder andern Vorlesung kann jetzt kommt was ein bisschen Neues Wasser für die Optimierung warten und warum und Geld Kalzium gelte auf Opera und nur und gilt als Indikator Last die von der noch im endlichdimensionalen da kennen und Folgen des Becker von transponiert mehr ist der Mensch alle Bild von von Art senkrechter das orthogonale Kompliment auf dem auf dem Bild und andersrum gucken mit richtigen nehmen er geht transponiert ist gleich ja senkrecht wo kann man da noch 2 Beziehung ableiten indem ich hier über immer noch einen senkrecht male und ausnutzen das senkrecht denke ich wieder im endlichdimensionalen und so kommt man dann auf auf eine ganze Latte an an an Beziehung zwischen nur noch Raum und Kern zwischen Matrizen transponieren Matrizen die Frage ist jetzt kann ich jetzt im N endlich die mehr unendlich dimensionale 1 Stern dran machen und das wär' es genauso wie der der Punkt ist bei der bei der
Einbeziehung geht das und bei der anderen nicht da wurden zu sich Voraussetzung 2 fangen wir mit dem Einfachen an wie das das das ist wichtig wenn endlich die ich kann so genauso beweisen dass die Propositionen nach bei Element L XY der dann gilt wir gucken da sich die richtige nehme er senkrecht ist leicht der und und sterben genau diese Jänner so und das beweist nicht eigentlich die zum einmal noch kurz also ganz schön der ist schlimm doch also nicht man nützt und Stern Element Kern von erstellen irgendwas er ständig und stellen gleich 0 unten y außen er war ein Mensch vorhandene das pro A 1 ja beliebig ja endet sondern man von einem in denen man schon an der Traum von ist dann gibts nix und das reichste gibt es so und daraus folgt wird es noch um Krebs und Stern nochmal überlegen die nah dran er ist gleich A X Sonne Sternen jetzt wer sich über das ist X stören wird es Leon Stern das ist die duale Paarung XX Stern so und jetzt weiß ich aber das Ding offen Kern was ist das gleich 0 daraus folgt das der Kern von Ausstellern schon mal im an von senkrecht enthalten ist da wir sehen ja hier dass das Geld hier für alle y Element der G für alle wirksam außen Bild von A 1 so waren die konstruiert die bei einer beliebig sei es tatsächlich zusammenhalten Stern ist immer gleich 0 wenn das jetzt ein Stern aus dem Kern kommt damit ist es im orthogonalen Kompliment des Ranges des Bildraums enthalten machen zu schwach sind da genauso ist es Dinge definierte alle dir aus y Stern für die duale Paarung gleich 0 ist und man sieht die wenn es denn Kerns ist die duale Paarungen ok also muss nur die andere Inklusion zeigen zeige also an bin ich fertig so das ist auch ziemlich einfach selbst und Sternen sie mich irgendeines außen Bild von senkrecht beliebig mehr dann folgt für alle y aus Außenbild von an das wird comma mit und Sterne es ist sieht dieser berechnen wie oben eigentlich das ist wohl keine direkt schon hinschreiben weil das steht senkrecht auf dem Bildraum Raum wenn das aus RGA ist dann gibt's wieder ein X so dass es A X mit der sich wieder
über mit 5 Sternen das habe ich hier die die Wale 2 okay so und ich sehe Ergometer bis hierhin und nicht bloß ins Auge ich muss den x-beliebig nehmen und x Element x beliebig dann folgt hier ja nein was das einfach weg dann geht das so an die 1
X ist ne ist im beliebiger
period auf X A X ist er ist dann natürlich im im im RG Y hier sollte das reine Element Bildraum der Bildraum von Arne Äxten wird offenbar wird es und Stern steht
denke ich da drauf also ist gleich 0 mit welche über und dann krieg ich das und das gilt für alle x aufwächst und daraus folgt natürlich das ist dann Sternen hier Kernen und ständig an weil einfach die duale Paarungen mit jedem x 0 ist das kann nur dann sein wenn das das 0 Lehment ist also die gibt es in Sternen Kern von Ar und damit habe ich gezeigt dass Bildraum Auto das Kompliment offenbar aus dem Bildraum im Kern enthalten ist und damit in die andre Inklusion brauche klar das war noch schön jetzt wird so schaffen vor coole Versicherungen das ist wie das ist genau der Beweis des man macht im endlichdimensionalen da geht das genauso trivial das ist ja wirklich nicht mehr 1 so um diese andere Sache zu zeigen muss sich ein bisschen arbeiten 1. Teil wenn ich das anders rum zeigen will also diese Geschichte hier ist der 1. Teil ziemlich genau so wie in dem das das funktioniert genauso wie der zweite Teil der geht nicht mehr und ab fragen vor und um das zu zeigen ja das bauen darum dazu da brauche ich jetzt das man hier sich in mehr die und gesunken auf dessen Tragweite ist ein nicht ganz ist also die auch der Beweis dass er nicht cool also das kann man auch vor wenn man ganz unter schiedlichen Kontexten also wir brauchen einigte also der Beweis ist wirklich viel geben und und der wir brauchen eine kleine Aussage daraus aber das kann man öfter benutzt das ist 2 noch in bei einem X und Y wir haben wird und danach und wichtig danach und ich muss es nach investieren anwenden danach und ganz wichtig und ja stetige operatum mit abgeschlossenem Bild das und wichtig und das wird mal irgendwann Kunstwein Kohle schicke ich period an existiert in Ankara größer 0 mit der Eigenschaft für das Schwert das jetzt macht ihr mit Quantoren auf für alle Lebenslagen dem Bild von existierten ich Stilla in den Text mit den Eigenschaften A von X Täler ist genau Y das war klar aber das Sinnbild rum ist aber noch ich kann die Norm abschätzen so wenn das jetzt steht ihm wird bei sehr trivial ist das der neue die die inverse wir und dass die neuen der inversen erzählt aber man kann das eben auch machen wenn das nicht in der Tiere nicht zu sagen würden dass sie zum Beispiel nicht in jektiv ist es gibt ja ganz viele X die das machen wenn ich immer 1 aus so dass die Normen der konstanten Cady nicht mehr von Epson abhängt dir abschätzen kann okay er soll ich jetzt an noch erst noch bevor hier loslege zur zu dieser Annahme Mensch abgeschlossen das das das ist nicht im im Funktionen gibt es viele Beispiele was nicht der Fall ist ich versuche H 1 auf dem Kopf so zu konstruieren also wenn folgende Situation ich konnte direkt 17 Bildraum an und ich nehme Operator wenn bestätige Funktionen die Hand der stetige Funktion aus also integral Apparatur irgendwie so war X von oder A X vom T ist gleich 0 bis T X von S die nicht immer bei minus 1 los und die neue zwischen minus 1 und 1 liegen oh ich hoffe das für dieses und die Uhren gehen comma dar sie wichtige Funktionen in Titel die dann ist klar wir A X ist dann der stetig differenzierbar aber ich betrachte das als Operator vom Raum der stetigen Funktionen an ihnen nicht immer eine stetig differenzierbare Funktion sondern auch bei und jetzt ist klar da sich welche zum Beispiel folgendes machen das ist jetzt eine Folge im Bild Bildraum wie andersrum ich nie zeichnet ich ewig worauf das hinausläuft ich gehe hier glatt in die nur rein aber meine Kommuni wird immer steil und das Grenz- Element ist sehe Tracht Funktion es ist sicherlich so dass im Raum der stetigen Funktionen diese ganzen funktioniert also im Weltraum denn die betrafen zum konvergieren aber das denn liegt nicht mehr im Bild Roadie Betrags Funktion selber liegen im Weltraum diese Operators weil es gibt keine stetige Funktion mehr deren Ableitungen also wird die die Ableitung von dem Ding ist in dieser Funktion ich bringt also es gibt kein X mehr sodass ich drauf integriert dass die er keine stetiges nix mehr ich drauf integriert die wird diese diese Betrags Funktion das heißt habe ihren Folgen die konvergiert in dem Raum der stetigen Funktion Betrag Funktion deren Urbilder sind sicherlich auch alle stetig weil ich habe hier keine Knickmeier in wie sowas und er oder Grenze man liegt aber nicht mehr er ist ist konvergiert hier im Raum ist auch stetig aber es brennt Element hat keine Urbild mehr das stetig ist dass es so ein Apparat da hätte unbeschränkt hätte hätte keine abgeschlossene Kern korrigieren Sie wenn ich da in der Firma okay so also was gibt es gibt aber auch okay aber in immer anders sehen hätten abgeschlossen kann was soll denn noch sagen genau wie was schon also in steht die es kein Probleme schon gesagt so kann ich immer mindestens 1 x schlagen aus wenn es denn nur abschätzen kann was im entsprechenden Urbild Frauen so und ich beweise dass zu viel Spezialfall das heißt
für die Zahl voll nein da ich denn jetzt gemacht Moment mehr ich brauche nur Excel Hilbertraum er Jahren stand bisher Spezialfall X Hilbertraum so das allgemein lassen machen will kann man das tun steht denn nun Berger da steht er auch die es könnte die Referenz das ist der Abschnitt 6 6 von etwa Beyer 7 ist das Anschreiben die sagte den Skript und der Beweis funktioniert allgemein über Quotienten wollen das ist der nächste technisch ich also noch der Elemente gut denn und sie mehr Mannigfaltigkeiten alles in diesen unschön und im Hilbertraum ist das kann man das kann man das einfacher machen und deswegen aber weil die Technik die unterlegene Technik genau dieselbe ist habe ich das jetzt mal nur für Hilbertraum präsentieren das Ganze ein bisschen verständlich da der Kernel vor dem Apparat von in in den Jahren stehe Operator ein abgeschlossen und auch ist dass der abgeschlossen ist der länger als so Klinger unter also klar abstoßen auch ist gilt es bekannter Satz der der der Funktionalanalysis kündigt auch normale Referenz angehen ich kann Excel direkt Summer aus es gern und den orthogonalen Kompliment darstellen abgeschlossen darum im Hilbertraum habe kann ich denn so darstellt ohne direkte Sonne und das will ich jetzt benutzen und der Punkt ist das ich schlage das wird in deren Ende man daraus sollen und dessen und kann nicht abschätzen zurück und das sind das Gute ist jetzt warum ich mache ich das weil der Operator Art der ist selber der muss sich im Mac-Design da habe ich keine Information das weiß ich nicht aber wenn ich ihn einschränke auf Apparat oder nur offen orthogonalen Kompliment des Kerns will dann ist im jektiv das sieht man sofort wir zeigen mit Schlange die Einschränkung hat er soll dich auch noch mal die Räume anscheinend ist mehr ich und da eben auf den Kern Bob auf gern als aus der Autor nur von der Messe vom Kern heißt das also nur die zu die da drin ihn dann gilt jetzt für beliebiges ist nicht beliebig sondern schon außen Bild von der liebe ich dann folgt das y ist irgendwie A X weißt y mit dem Bild von armen ASX muss nicht eindeutig sein ich kann das deswegen immer aufspalten in allen A X 0 plus 1 A X wer und dieses x 0 das Lied im Kern von und das ich den gern von Art senkrecht 6 7 unterwegs ich kann die ganzen Raum so aufspalten zur und daraus folgt das ist einfach nur von X senkrecht weil das ich den Kern 0 und das ist da die Schlange von X senkrecht ich senkrecht sieht den Kern von Autobahn Kompliment vom Kern und dort habe ich Schlange definiert als Einschränkung von ja und da das y beliebig war daraus folgt dass das Schlange als Operator vor kehren von Art senkrecht nach Bild von selektiv ist das Ganze wir sind keine jedes y als Bild 1 x quer X senkrecht darstellen okay so sie noch zeigen dass das in die Tiefe ist das ist wie klar okay es gilt dass der Schnitt von senkrecht mit allen X für die gilt A X gleich 0 das ist ja gerade der Kern das natürlich nur diese Nullen nennt er sowieso so ist orthogonale Kompliment das Volk direkt auf der Sitzung Fiction-Autoren die und er ist ja dem klar wie also so den so hat das heißt wenn er wenn hier das wenn hier die 0 steht er ist gleich 0 dann bleibt hier als Element in dem in dem er in dem in dem der Autor ein Komplement des Kerns nur die 0 war daraus folgt also Schlange in der gleich 0 impliziert RX senkrecht gleich 0 klar er okay nicht mehr immer unterbrechen so das ist doch schon mal schön Haar das heißt sage schalte ich schreibe jetzt die Räume nicht mehr hin ist bijektiv ist Rede die wird sieht sich unendlich dimensionale na schön invertierbar nein ich muss brauche jetzt noch in die Stetigkeit der entwerfen und dafür muss jetzt er oder man Einkommen dass der Rang abgeschlossen sein muss und das kommt jetzt das Gesetz im unendlich dimensionale wir eben nicht so dass jeder wir die wir Operator automatisch tätig ist dafür wurde eine Voraussetzung danach haben ich muss das im Banachraum machen ach gucke seine super bei den nicht das den Satz aber wie heißen der auf Deutsch Banner in was sie also danach scharf über die beschränkte in der noch heute wird weiß ich nicht also weiß das jemand wacht ja keiner auch gut ja schön zur besten jetzt der mehr jetzt definiere ich mir aber neue Räume war in den ich weiß jetzt nur das dass das sehr Schlange in den Räumen hier er er bijektiv ist in den man dort und daraus mache ich jetzt Räume der sitzen Raum der von senkrecht dem rüstig aus mit der mit der X richtig 1. Teil von Exxon und er gehe aber Bild von denn statt ich aus mit der Norm von Y das sind jetzt normierte Räume die sind auch länger aber länger und frage wird wenn ich irgendwie dass die stetigen wer sind das Banner mehr ja denn ich denn die natürlich weiter Kärnten senkrecht und er G A R muss das immer aufschreiben zerfurcht abgekürzt und er gehe aber sind selber auch einer wolle man mit diesen enormen natürlich weise abgeschlossen und darum abgeschlossen und ohne dass das und ist dass die Länder sind alles klar wenn der normierte Räume was muss ich zeigen damit das Banner Räume sind Vollständigkeit nehmen wir also an ich bin jetzt sehen und darum in einer der oder der egal so abgeschlossene komme ich gleich noch warum ist das dann waren es ja dann vollständig habe mir Chuschi Folge in im Unterhaus darum drüber immer denn das X dessen Banachraum also weiß ich die Folge konvergiert im Banachraum da geht es also alle machen ich mach das mal das mal ein b Banachraum abgeschlossen und auch so wird sie in der Folge XN Chuschi weil B und XN ist in und darum enthalten durch zeigen und daran so abgeschlossen war er vollständig sein also muss der Geräten ist die Folge im und darum konvergiert ich weiß es man damit ist natürlich auch in B enthalten und damit weiß ich wippten x aus B völlig trivial weil's XN gegen Aids konvergiert bei Exxon danach aber den Banachraum ist wird weil sie es abgeschlossen ja war verdienen abgeschlossen daraus folgt x Element ich habe eine Folge des die die die in B konvergiert alle ganz vorliegen also kann das Abschuss auch so also das ist trivial das heißt das sind selber Bahn aber wenn ich sie so Topologie sehr waren sind jetzt abgeschlossen mein ist ist klar tja senkrecht ist abgeschlossen wer sich mal überlegen Personals abgeschlossen orthogonal Kuppel wenn auch abgeschlossen einfach und er G A wichtig hier brauche ich die Voraussetzung nach Voraussetzung abgeschlossen und da habe ich eben gesehen muss man erfahren okay Wert habe ich ein schönes Direktiven Operatoren Banner und man muss nur zeigen dass der Operator beschränkt ist stetig und dann kann ich Ihnen den ebenso übersetzten Satz zitieren das dass der dann wird hier war es so weit war wir zeigen Stetigkeit schlagen dass das Ding linear ist es wieder trivial folgt direkt aus dieser Definition als Einschränkung ist in ihren Apparat uns völlig klar okay fragen da eigentlich und jetzt wichtig Tätigkeit haben okay und ob ich will das mal an 2 ganz ausführlich Schlange XPS ist ist wir ins und Element aus dem Auto und man konnte man vom Kern und ich nehme das in dieser Norm ich habe die habe ich die Topologie Sir das ist einfach nur die y waren so und das ist nach Definition dasselbe als wenn ich ihn auch Berater darauf an wenn wir da zusammen und einen kann ich hier natürlich die Operatoren rausziehen L XY nennen sie das Einschränkung ist völlig klar dass das Ding steht ist ein sehr beschränkt und dann habe ich hier die Norm und dem und das ist kleiner gleiche konstante enorm von dem Operator X X senkrecht und das ist genau die Topologie die benutzt haben um das orthogonale komplementär zu mit Annan zu versehen durch also sehe ich hier aber das ja mein schreien es ist länglich auch da also L Keller A senkrecht RG an meinem neuen Rollen ich hätte die wirklich abkürzen sollen das ist leicht und das den ich jetzt mal hier ich nenne das man kann das ist klar es ist eine unendlich nehmen sie streng durch enorm von okay so ja ja wie das ist ja nicht gerade auch legale nächster ok Schlange so das heißt ich habe einen bijektiv beschränken Operator in Banner wollen und da gibt es diesen zitierten Satz dass der in der Tiere ist daraus folgt Schlange um minus 1 ist Element ist jetzt der natürlich bijektiv aber in noch stetig alle Formen er die aber mehr Kerns von wenn es so und das gibt dann auch das Volk ein die auf dem Satze abschlossen Graf also oder hören also oben mit den ziehen also dazu auf ja das hoffe kann jedermann nachlesen in in sein es etwa die Fakten verliert comma was in der Tiere wird hier das genau das was wir brauchen Herr das schreit die alles nach inverse Invasoren aus und bilden will ich die Norm des Opels abschätzten wollen was invertieren da ist mein da da habe ich das man sich in der ab das mache ich jetzt mehr die Teile gut tut Gebrauch gute so und um daraus folgt sofort dass sich abschätzen kann Schlange um minus 1 y in der iX Norm ist kleiner gleich Schlange um minus 1 das ist jetzt hier ich habe das hin mit der geht vom wählen nicht in den Kernel senkrecht weil die Norm von y in der das am auch zurück das geht vor allem das aus er die Ar Böen und so weiter das ist es genau diese Konstante K auf meinen Satz und das da wir wollen nicht Schlange auf meine wird so war damit durch jetzt heute auf aber jetzt noch das andere werden die X sind comma in eine Bemerkung sei nicht aber ich habe meine Bemerkung und zwar diese Technik es ist es ist extrem wichtig für viele Anwendungsprobleme beispielsweise hat man oft so Seite period Problem auch wichtig dass wir hoffen einfach so aus dem Hut gezaubert also prominentestes Beispiel das Docks Problem flugs Problem sieht so aus plus P gleich 0 gleich 0 der das alles nur wird es bloß Randbedingungen wir wissen das ja da das ist so eine ganz wenige Formen der Name ist doch das gleich um es das Geschwindigkeit Welt P ist der Druck es nämlich äußeren Kräfte Erdanziehung okay und was ich mir jetzt mal genau angucken möchte ist die Gleichung wer sich ach oh Herr Feldmann hier fehlt noch der die Ableitung des Druckers gerade den P es sieht die Divergenz Unsummen von Sonne Vektorfeld gleich 0 so und man kann sich jetzt überlegen das muss weiß auch nur ein schwach interpretieren als Wache Divergenz dass natürlich viele Vektorfelder gibt die den Divergenz verschwindet was ist die Divergenz der ist mir alle Ableitung auf alle partiellen Ableitungen auch zum ist an der Kante Jennifer natürlich will jede konstante macht das aber auch noch weit mehr Funktionen oh das heißt es nicht genau sonst hätte dieser Operator Divergenz kann niemals invertierbar Sager Genitiv ist ich kann aber einschränken versetzte schwache Divergenz definieren die bildet L 2 in Heinz Stern ab alle und und ich kann jetzt und ich kann diesen L 2 ist ein Hilbertraum den kann ich genauso aufsparen ist dann die die Divergenz ich mache diese Grenze und ich kann immer ein Element aus Autoren ein Kompliment das der Divergenz finden wo wo alles wunderbar so emittieren kann ich keinen abschätzen aber das ist die Basis für Diskussionen von solchen man Intervalle period Problem das im Saal period Probleme ich das aufschreibe dann habe ich hier im im Spiel in dem schwachen Sinne habe ich hier nach Glas das ist die wir Divergenz Sternen wissen wir einfach mal glauben aktivierter Apparatur das Herz period Struktur es ist der hier 0 und da transponiert für die Leute die Sie ein bisschen besser auskennen mit mit mit mit PDS und so weiter so und das ist die Basis dafür dass sich da sich sowohl Sonne Räsonnement auf Auto und ein Kompliment finden die Norm abschätzen kann ist die Basis dafür umso wollte bei Spex denn für seine für sowas zu diskutieren ja überlege ich dass sie ohne Vorlesung war gleich aus Optimierungsproblem deuten in den Bedingungen dann aber er wird die ja so dass so hier zwar nicht ist nee also deswegen ist das ist das in echt wichtiger Trick wie man dann im Hilbertraum ein irgendwas kommt was doch in der Tiere und dann muss man sich eben auf diese Rolle mehr einschränken gern senkrecht unter in Schwanau okay das war es dann bis so Mittwoch
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